Квадратно уравнение с параметър

[phobike]

Здравейте, забелязах че темата под тази съдържа задача почти същата като моята но моята има една малка разлика която доста затруднява. Много моля някой да обърне внимание и на нея

f(x)=x^2 - 2mx + 8 ; m е реален параметър
а) намерете всички m за които уравнението f(x)=0 има реални корени x1 и x2 такива, че |x1 - x2 | [tex]\le[/tex] 1 тук идва разликата, при неговата е 0 на мястото на 1

б) намерете всички m за които f(x) [tex]\ge[/tex] 0 е вярно за всяко цяло число x

[Knowledge Greedy]

Корените са реални при [tex]D\ge 0.[/tex]
Следователно[tex]D=4m^{2}-32 \ge 0.[/tex] Разлага се на множители така [tex]4(m-\sqrt{8})(m+\sqrt{8})\ge 0[/tex] и решенията са [tex]m\in (-\infty ; -\sqrt{8}]\cup [ \sqrt{8};\infty )[/tex]
[tex](\ast)[/tex]
След това се питаме как така [tex]|x_{1}-x_{2}|\le 1?[/tex]
Много ясно - когато [tex]|x_{1}-x_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{1}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}\le 1[/tex]
Сега използваме формулите на Виет : [tex]x_{1}+x_{2}=2m[/tex] и [tex]x_{1}x_{2}=8.[/tex]
Заместваме по-горе и получаваме [tex]4m^{2}-32\le 1[/tex]
[tex]4m^{2}-33\le 0[/tex] Разлага се на множители така [tex](2m-\sqrt{33})(2m+\sqrt{33})\le 0[/tex]
Тогава [tex]m\in [-\frac{ \sqrt{33}}{2 } ;\frac{ \sqrt{33}}{2 }][/tex]
[tex](\ast \ast)[/tex]
Засичаме интервалите [tex](\ast)[/tex] и [tex](\ast \ast)[/tex] , и получаваме[tex][-\frac{ \sqrt{33}}{2 } ; -\sqrt{8}]\cup [ \sqrt{8};\frac{ \sqrt{33}}{2 }][/tex]


б) Упътване: или [tex]f(x)=0[/tex] или [tex]f(x)>0.[/tex]
Първото е възможно само при
[tex]m=2, m=4[/tex] [tex],m=\pm \frac{9}{2 }[/tex] или [tex]m=-2, m=-4[/tex] (Защо ли ? ).
Второто е възможно при [tex]D< 0[/tex] т.e. [tex]m\in (-\sqrt{8} ; \sqrt{8}).[/tex]

[pal702004]

b)Третото възможно е...ако [tex]f(m)<0, f([m])\ge 0, f([m]+1)\ge 0[/tex]
Свързано е с подусловие а

[tex]m \in [-sqrt{\frac{33}{2}};sqrt{\frac{33}{2}})[/tex]

[pal702004]

Поправка, [tex]m \in [-\frac{17}{6};\frac{17}{6}][/tex]

[kmitov]

Задачата е от кандидатстудентски изпит в СУ през 1997 година.