логаритмични уравнения

[fender99]

[tex]log_{x }^{2 }\sqrt{5} - log_{x }(5\sqrt{5}) + 1,25=0[/tex]

[tex]log_{x }(9x^{2}).log_{3 }^{2}x=4[/tex]

[Spider Iovkov]

[tex]\log_{x} 9x^2 \left ( \log_{3}x \right )^2 = 4[/tex]

Понеже неизвестното участва и в основата на логаритъм, и в аргумента, дефиниционната област е

[tex]x \in \left ( 0;1 \right ) \cup \left ( 1;+\infty \right )[/tex].

Сега, ние знаем, че

[tex]\log_{x} 9x^2 = \log_{x}9 + \log_{x}x^2 = \log_{x}3^2 + \log_{x}x^2 = 2 \log_{x}3 + 2 \log_{x} |x|[/tex].

Понеже [tex]x>0[/tex], то последният запис е равносилен с [tex]2 \log_{x}3 + 2 \log_{x}x = 2 \log_{x}3 + 2 = 2 \left ( \log_{x}3 + 1 \right )[/tex].

Така изходното уравнение добива вида

[tex]2 \left ( \log_{x}3 + 1 \right ) \left ( \log_{3}x \right )^2 = 4 \Leftrightarrow \left ( \log_{x}3 + 1 \right ) \left ( \log_{3}x\right )^2 = 2 \Leftrightarrow \left ( \frac{1}{\log_{3}x} + 1 \right ) \left ( \log_{3}x \right )^2 = 2[/tex].

Полагаме [tex]\log_{3}x = u \Rightarrow \left ( \frac{1}{u} + 1 \right ) u^2 = 2 \Leftrightarrow u^2+u-2=0 \Leftrightarrow u_{1}=1, \, u_{2}=-2 \Leftrightarrow x_{1}=3, \, x_{2}=\frac{1}{9}[/tex].

Другото уравнение се решава аналогично.