Квадрат и окръжност

[Гост]

Здравейте. Може ли малко помощ за тази задача:
Квадратът ABCD и окръжност са разположени така, че окръжността се допира до AC в т. C и центърът и лежи от онази страна на AC, където е върхът D. Допирателните от D към окръжността сключват ъгъл от 120 градуса. Да се определи отношението между лицето на квадрата и лицето на окръжността.

[Knowledge Greedy]

Разглеждаме [tex]\Delta DOT[/tex] (жълтия триъгълник на чертежа).
От условието [tex]\angle TDO=60^{\circ }[/tex], значи [tex]DO=\frac{R}{ sin60^{\circ }}[/tex].
Отново от условието [tex]\angle DCO= 45^{\circ }[/tex], тъй като и [tex]\angle ACO=90^{\circ }[/tex], и [tex]\angle BCD =90^{\circ }[/tex].

Квадрат и кръг.PNG (6.56 KiB) Прегледано 246 пъти

Прилагаме косинусова теорема за [tex]\Delta DCO[/tex]
[tex]DO^{2}=DC^{2}+OC^{2}-2DC.OCcos45^{\circ }[/tex],
[tex](\frac{R}{ sin60^{\circ }})^{2}=a^{2}+R^{2}-2aRcos45^{\circ }[/tex]
оттук се получава хомогенното уравнение
[tex]\frac{1}{3 }R^{2}+aR\sqrt{2} -a^{2}=0[/tex], а от него
[tex]\frac{a}{R }=\frac{3\sqrt{2} +\sqrt{30} }{6 } .[/tex]
Така стигаме до търсеното отношение [tex]a^{2} : ( \pi R^{2})=\frac{4+\sqrt{15} }{3 \pi^{2} }[/tex]