Пресмятане на израз - тригонометрия

[Гост]

Да се пресметне sin 3α*cosα ако tg α=2 и α принадлежи в интервала (0, 45)

Отговорът би трябвало да е ([tex]\sqrt{5}[/tex] - 3)/2

[math10.com]

[tex]\alpha \in (0;\frac{\pi }{4}) \Right sin \alpha >0 ; cos\alpha>0[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|l}tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos \alpha}=2 \Right sin \alpha =2cos\alpha \\sin^2\alpha +cos^2 \alpha =1 \Right 4cos^2 \alpha +cos^2 \alpha=1\Right 5cos^2 \alpha=1 \Right cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}\end{tabular}[/tex]
[tex]\Right sin \alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex]

[tex]sin 3\alpha .cos\alpha =(3sin \alpha -4sin^3\alpha).cos\alpha =[3\frac{2\sqrt{5}}{5}-4(\frac{2\sqrt{5}}{5})^3].\frac{\sqrt{5}}{5}=(\frac{30\sqrt{5}}{25}-\frac{32\sqrt{5}}{25})\frac{\sqrt{5}}{5}=-\frac{2}{25}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Има известна некоректност в условието.
[tex]0^{\circ} <\alpha <45^{\circ}[/tex] противоречи на [tex]tg\alpha =2[/tex], защото в този интервал [tex]0 <tg\alpha <1[/tex] и [tex]tgx[/tex] е непрекъсната.
Но това може лесно да се коригира, като вкараме например [tex]\alpha \in (45^{\circ} ,90^{\circ})[/tex]