2 задачи от тригонометрия

[Гост]

1задача

cos(-322°)sin(-360°)tg(-398°)cos(540°)sin(-302°)

2 задача

Дадено : tg\alpha =1/2 , \alpha \in (180;270)
Да се реши : sin(\alpha - 270°)cos(\alpha -90°)tg(\alpha +90°)

Моля някой да ми ги реши и ако може по-подробно да обяснява,защото имам важна контролно и задачите ще са подобни.

[Knowledge Greedy]

Задача 1. [tex]cos(-322^\circ )sin(-360^\circ )tg(-398^\circ )\frac{}{ } cos(540^\circ )sin(-302^\circ ) =[/tex]
Добавяме или изваждаме по един или повече периоди в аргумента на съответната функция
[tex]cos(-322^\circ +360^\circ )sin(-360^\circ +360^\circ )tg(-398^\circ +540^\circ ) cos(540^\circ -360^\circ )sin(-302^\circ +360^\circ )=[/tex]
[tex]=cos(38^\circ )sin(0^\circ )tg(42^\circ ) cos(180^\circ )sin(48^\circ )=0[/tex],
защото [tex]sin0^\circ =0[/tex].

По същата причина, ако условието на задачата беше
[tex]\frac{cos(-322^\circ )sin(-360^\circ )tg(-398^\circ )}{cos(540^\circ )sin(-302^\circ ) }[/tex], отговорът отново е [tex]0[/tex].

Задача 2. [tex]sin(\alpha -270^\circ ) cos(\alpha -90^\circ )tg(\alpha +90^\circ ) =[/tex]
Както в задача 1 добавяме един период [tex]360^\circ[/tex] в първия аргумент, за втория множител прилагаме правилото "четност" [tex]cos(-\varphi )=cos\varphi[/tex], а за третия - връзката между тангенс и котангенс при "отместване на фаза [tex]90^\circ[/tex]":
[tex]sin(\alpha -270^\circ + 360^\circ ) cos(90^\circ -\alpha )(-cotg\alpha) =[/tex]
[tex]=-cos\alpha sin\alpha cotg\alpha[/tex]
(Тук използвахме, че [tex]sin(90^\circ + \alpha )=cos\alpha[/tex] , както и [tex]cos(90^\circ -\alpha )=sin\alpha[/tex])
Остава да включим и началното условие
[tex]tg\alpha =\frac{1}{2 }[/tex] , при [tex]\alpha \in (180;270)[/tex] - оттук [tex]cotg\alpha =2[/tex],
и след заместване [tex]\frac{cos\alpha }{sin\alpha } =2[/tex] [tex]\Leftrightarrow cos\alpha =2sin\alpha[/tex] в основното тъждество [tex]sin^{2}\alpha +cos^2{\alpha }=1[/tex], намираме първо [tex]5sin^{2}\alpha =1[/tex] и след това отговора на задачата
[tex]=-cos\alpha sin\alpha cotg\alpha= -\frac{1}{\sqrt{5} }.{\frac{2}{\sqrt{5}}.2=-\frac{4}{5 }[/tex]
Интервалът в условието за [tex]\alpha \in (180;270)[/tex] осигурява еднозначност на отговора т.к. първият и вторият множители в този интервал са с еднакви знаци.