Тригонометрията в планиметрията!!! :)

[katal_latem]

Моля, ако можете, да ми помогнете с тези задачки:
1. В равностранен триъгълник е вписан друг равностранен триъгълник с 3 пъти по-малко лице. да се докаже, че страните на двата триъгълника са взаимно перпендикулярни.
2. В ▲ABC са построени медианите AD и CE, AD=5см, [tex]\angle[/tex] CAD=22°30` и [tex]\angle[/tex]ECA=45° Да се намери лицето на ▲АBC Отг:8[tex]\frac{1}{ 3}[/tex]
Задачите да от сборника на Коста Коларов и Христо Лесов- 23.29 и 23.33

[Knowledge Greedy]

1. Коефициентът на подобие на по-малкия към по-големия триъгълник явно е [tex]k=\frac{\sqrt{3} }{3 }[/tex].
Непосредствено се доказва, че малките триъгълници, които допълват единия равностранен
до другия, са еднакви.

Неделя вечер.PNG (6.75 KiB) Прегледано 265 пъти

По косинусова теорема за един от жълтите триъгълници получаваме, че
[tex]\left ( \frac{a\sqrt{3} }{ 3} \right )^2=x^2+(a-x)^2-2x(a-x)cos60^\circ[/tex]
Равенството е равносилно на [tex]9x^2-9ax+2a^2=0[/tex]
и тогава [tex]x=\frac{a}{3}[/tex] или [tex]x=\frac{2a}{3}[/tex], което веднага решава задачата.
---------------------------------------------
(При [tex]x=\frac{a}{3}[/tex] и [tex]a-x=\frac{2a}{3}[/tex], от питагорова (или косинусова) теорема за един жълт триъгълник.)