Остър ъгъл и триъгълник

[Гост]

Здравейте, трябва ми помощ с тази задача:

Нека е даден остър ъгъл AOP и точка L е избрана произволно във вътрешността на този
ъгъл. Да означим OL разстоянието на тази точка до върха на ъгъла AOP. Избираме
произволно точки M и N съответно върху раменете OP и OA на дадения ъгъл и разглеждаме
получения триъгълник MLN. Да се намерят такива точки M и N съответно върху раменете
OP и OA на дадения ъгъл, за които полученият триъгълник MLN има минимален периметър.

MLN не могат ли да лежат на 1 права и тогава няма да има триъгълник?

[monika_at]

simetria.png (28.15 KiB) Прегледано 688 пъти

Следваме означенията на чертежа. Нека построим симетричните точки на L спрямо правите а и p. Да ги означим съответно като F и Q. Нека правата FQ пресича а и р съответно в точки N и M.
Тогава [tex]P_{MNL}=LN+LM+NM=NF+MQ+NM=FQ[/tex]
Сега да вземем произволни точки [tex]N_1\in a; M_1\in p=>P_{M_1N_1L}=LN_1+N_1M_1+M_1L=FN_1+N_1M_1+M_1Q>FQ[/tex] (неравенство между страните в четириъгълник)=> периметърът ще е минимален, когато M и N са пресечните точки на раменете на ъгъла с правата, минаваща през симетричните точки на т.L спрямо тези рамене (правите а и р).

[Гост]

Благодаря много за отговора!
И само един допълнителен въпрос. Ако се знае само големината на ъгъл AOP и дължината на LO дали може да се намери еднозначно къде точно трябва да са M и N на двата лъча на ъгъла или ще зависи от точно това, къде се пада L.

[monika_at]

Благодаря много за отговора!
И само един допълнителен въпрос. Ако се знае само големината на ъгъл AOP и дължината на LO дали може да се намери еднозначно къде точно трябва да са M и N на двата лъча на ъгъла или ще зависи от точно това, къде се пада L.

Трябва да помисля. Не съм сигурна, че само по тези данни, задачата е определена. Ти си пуснал тази задача в два раздела- за 11 клас и за 8 клас. Кой клас си, за да ти отговоря евентуално адекватно?

[Гост]

Аз съм доста по-голям. Задачата я получих в разговор с познат. Като ми беше казано първо, че е от учебник от 8ми клас. После, че е за 11ти.
Според мен само по тези данни, които казах няма да се знае къде точно трябва да са M и N, но малко по усет го казвам това.