Равнобедрен триъгълник

[Гост]

Да се намери косинусът на ъгъла при основата на равнобедрен триъгълник, за който ортоцентърът лежи върху вписаната окръжност. Отг.: 2/3

[Knowledge Greedy]

От свойствата на ортоцентъра
[tex]\angle CZD=90^\circ - \frac{\gamma }{2} =\alpha[/tex] [tex](\ast)[/tex]

Ортоцентърът върху вписаната окръжност.PNG (5.91 KiB) Прегледано 241 пъти

Разглеждаме [tex]\Delta ANZ[/tex] и [tex]\Delta ANI[/tex].
От първия [tex]\Rightarrow tg\frac{\gamma }{2 } =\frac{2r}{\frac{c}{2} }[/tex][tex]\Leftrightarrow 4r=c .tg\frac{\gamma }{ 2}[/tex]
От втория [tex]\Rightarrow tg\frac{\alpha }{2 } =\frac{r}{\frac{c}{2} }[/tex][tex]\Leftrightarrow 2r=c .tg\frac{\alpha }{ 2}[/tex]
Изключваме [tex]c[/tex] и [tex]r[/tex], и получаваме [tex]2tg\frac{\alpha }{ 2}=tg\frac{\gamma }{ 2}[/tex].
А то е равносилно на [tex]2tg\frac{\alpha }{ 2}=tg(90^\circ-\frac{\gamma }{ 2})[/tex], благодарение на [tex](\ast)[/tex]

Оттук [tex]4sin^2 \left ( \frac{\alpha }{2 } \right )=cos\alpha[/tex],
а това равенство дава [tex]cos\alpha =\frac{2}{3 }[/tex]