Равнобедрен триъгълник с вписана окръжност

[Гост]

Вписаната в равнобедрен триъгълник ▲ABC окръжност се допира до бедрото ACв т.M. От M е спуснат перпендикуляр MN към основата AB (N\in AB). Да се намери cosγ, ако Sabc=1 Snbcm=a.

[Knowledge Greedy]

Вписаната в равнобедрен триъгълник ▲ABC окръжност се допира до бедрото AC в т.M. От M е спуснат перпендикуляр MN към основата AB [tex](N\in AB)[/tex]. Aко [tex]S_{\Delta ABC}=1[/tex] и [tex]S_{\Delta NBCM}=a[/tex] ,
да се намери cosγ.

Dopirna to4ka i Lica.png (5.63 KiB) Прегледано 377 пъти

Явно [tex]\angle = \alpha =90^\circ - \frac{\gamma }{2 }[/tex] [tex](\ast)[/tex].
Със стандартните означения още [tex]\frac{AD}{AC } =cos \alpha = \frac{c}{2b}[/tex].
Коефициентът на подобие на триъгълниците [tex]\Delta AMN[/tex] и [tex]\Delta ADC[/tex]
е [tex]\frac{AM}{AC }= \frac{AD}{AC } = cos \alpha .[/tex]
И тъй като [tex]S_{\Delta ADC}=\frac{1}{2 }[/tex] , то [tex]\Delta S_{\Delta AMN }= \frac{1}{2 }cos^2 \alpha[/tex].
Другият начин за изразяване на същото лице от условието е
[tex]\Delta S_{\Delta AMN }= 1- a[/tex].
Приравняваме ги
[tex]cos^2 \alpha = 2(1- a)[/tex]
и като използваме [tex](\ast)[/tex]
преобразуваме до [tex]cos^2 (90^\circ - \frac{\gamma }{2 } ) = 2(1- a)[/tex]
След [tex]sin^2 \frac{\gamma }{2 } ) = 2(1- a)[/tex]
формулата за понижаване на степента, окончателно получаваме
[tex]cos\gamma=3-4a[/tex].
-------------------------
Задачата е коректна при [tex]\frac{1}{2 }<a <1[/tex].