Окръжност

[Гост]

В окръжност е вписан правоъгълен триъгълник са катети 6 см и 8 см. Да се намери радиусът на окръжността, която се допира до двете по големи страни на триъгълника и до първата окръжност. Помогнете ми, моля.

[Гост]

2,5

[Гост]

Отговорът е 20/9.

[Knowledge Greedy]

Нека триъгълникът е [tex]\Delta ABC[/tex], [tex]AC=8, BC=6[/tex] и както не трудно се получава - хипотенузата [tex]AB=10[/tex]. Нека още центърът на описаната окръжност [tex]k[/tex] е точка [tex]O[/tex]. Както добре знаем [tex]O[/tex] е среда на хипотенузата и радиусът на [tex]k[/tex] e [tex]5[/tex]. Да означим с [tex]N[/tex] центъра на окръжността [tex]\omega[/tex], която се допира до [tex]AC, BC[/tex] и до [tex]k[/tex]. Търсим радиуса [tex]x[/tex] на [tex]\omega[/tex].
Съсредоточаваме вниманието си върху [tex]\Delta ONC[/tex].
°Страната [tex]OC=5[/tex], защото е радиус на [tex]k[/tex] .
°Страната [tex]ON=5-x[/tex], тъй като допирната точка на [tex]\omega[/tex] с [tex]k[/tex] е върху тяхната централа и допирането им е вътрешно.
°Страната [tex]NC=x\sqrt{2}[/tex], понеже върховете [tex]O[/tex] и [tex]C[/tex] заедно с допирните точки на [tex]\omega[/tex] със страните [tex]BC[/tex] и [tex]AC[/tex] са върхове на квадрат с диагонал [tex]NC[/tex] и страна [tex]x[/tex].
°Ъгълът [tex]\angle OCN[/tex] се получава като разлика [tex]45^\circ - \alpha[/tex], защото [tex]\angle ACO=\angle OCA = \alpha[/tex]
и [tex]CN[/tex] е ъглополовящата на правия ъгъл (за да може [tex]\omega[/tex] да се допира до [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex], центърът и [tex]N[/tex] трябва да е върху ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex]).
° Непосредствено от условието се получава, че [tex]cos \alpha =\frac{4}{5}[/tex], [tex]sin \alpha =\frac{3}{5}[/tex] и [tex]cos \angle OCN = cos (45^\circ - \alpha)=\frac{4}{5 }.\frac{\sqrt{2} }{2 } +\frac{3}{5 }.\frac{\sqrt{2} }{2 } =\frac{ 7\sqrt{2}}{10[/tex]
Прилагаме косинусова теорема за [tex]\Delta ONC[/tex].
[tex](5-x)^2=5^2+(x\sqrt{2})^2-2.5.x\sqrt{2} . \frac{ 7\sqrt{2}}{10}[/tex]
Това уравнение е равносилно на [tex]x^2-4x=0[/tex] [tex](x>0)[/tex] и оттук отговорът на задачата [tex]x=4[/tex].

[Knowledge Greedy]

Добре е да се види тази красива задача и на чертеж. Ето чертежа за доказателството.

допираща се до окръжност и страни на триъгълник.PNG (10.67 KiB) Прегледано 306 пъти

А ето и картината, която след по-съсредоточен поглед може да даде отговора по-бързо.

допиращасе до окръжност и страни на 3-ъгълник.PNG (5.11 KiB) Прегледано 306 пъти

Обърнете внимание, че правата съдържаща централата на двете окръжности съвпада със симетралата на катета [tex]AC.[/tex]Но това автоматично ни показва дължината на страната на квадрата! 4.

[Гост]

Пише до двете по-големи страни!

[Knowledge Greedy]

[Knowledge Greedy]

В такъв случай съм съгласен с отговора [tex]\frac{20}{9}[/tex].
Трябва да решим един правоъгълен триъгълник и да включим търсения радиус в определението на [tex]tg \frac{\alpha }{2}[/tex] в друг правоъгълен триъгълник, при известен [tex]cos\alpha =\frac{4}{5}[/tex] от дадения.

[Гост]

Само не разбрах кой правоъгълен триъгълник трябва да решим?