Събиране, изваждане и умножение на тригонометрични функции

[Sweet_dreams]

Наистина нищо не мога да схвана от този материал, а в учебника не е наблегнато на него. Снимала съм няколко примерни задачи. Просто ми трябва обяснение на принципа, по който се решават. Ще съм ви благодарна, ако и този път помогнете.

[Knowledge Greedy]

Тестът - снимка, на който подлагате евентуалните помощници, може да ги откаже в доброто намерение да Ви помогнат
Но с помощта на един лингвист, един фотограф и един доктор (лекар) успяхме да дешифрираме част от условията и след като ме оставиха сам, ни ми остава друго освен да помогна.

В учебника достатъчно подробно се обяснява следната задача
[tex]1-cos\alpha =2sin^2 \left (\frac{\alpha }{2} \right )[/tex].
Точно тя се среща в задача д)

[tex]1-cos\alpha -\sqrt{3} sin{\frac{\alpha }{ 2}}= 2sin^2 \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) -\sqrt{3} sin{\frac{\alpha }{ 2}}[/tex]
Следващата стъпка се учи без прекъсване от ПЕТИ клас, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 -ти клас и т.н. поне до 77 години.
Нарича се ИЗНАСЯНЕ НА ОБЩ МНОЖИТЕЛ

[tex]2sin^2 \left (\frac{\alpha }{2} \right ) -\sqrt{3} sin{\frac{\alpha }{ 2}}=sin{\frac{\alpha }{2}} (2sin{\frac{\alpha }{2}} -\sqrt{3})[/tex]
Следващата стъпка е изнасяне на множител, когато този множител не се забелязва в едното събираемо

[tex]sin(\frac{\alpha }{2}) (2sin(\frac{\alpha }{2}) -\sqrt{3})=2sin(\frac{\alpha }{2}) \left(sin(\frac{\alpha }{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)[/tex] (Множителят е числото [tex]2[/tex])
Следва стъпка, която се показва във всеки учебник от 9-ти до 12-ти клас между четири и 14 пъти - разбира се с различни числа във всеки (за да си мислят учениците, че има много и страшни задачи )!

Тя е [tex]\frac{\sqrt{3} }{2} =sin60^\circ[/tex]. Понякога я записват така: [tex]sin60^\circ =\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex], а често и така [tex]\frac{\sqrt{3} }{2} = sin {\frac{\pi }{3}}[/tex] или така [tex]sin{\frac{\pi }{3 }} =\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex].

[tex]2sin{\frac{\alpha }{2}} \left(sin{\frac{\alpha }{2}} -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=2sin{\frac{\alpha }{2}} \left(sin{\frac{\alpha }{2}} -sin60^\circ \right)[/tex]

Следва приложение на формула от тригонометрията на десети клас (по сегашната програма)
[tex]sin{x}-sin{y}=2sin {\frac{x-y}{ 2}} cos{\frac{x+y}{ 2}}[/tex][tex](\ast)[/tex]
и с това одисеята завършва - при предположение, че вярно сме разтълкували условието на задачата - да се представи сборът във вид на произведение.

[tex]2sin\frac{\alpha }{2} \left (sin\frac{\alpha }{2} -sin60^\circ \right)=2sin\frac{\alpha }{2} \left (2sin \frac{\frac{\alpha }{2} -60^\circ}{ 2}cos\frac{\frac{\alpha }{2}+60^\circ}{ 2} \right )[/tex]

Отговорът се записва с възможно по-прости изрази, с възможно най-малко скоби. Тук, с малко закъснение ще споменем, че във формулата [tex](\ast)[/tex] заместихме [tex]x[/tex] със [tex]\frac{\alpha }{2 }[/tex], а [tex]y[/tex] в същата формула [tex](\ast)[/tex] заместихме със [tex]60^\circ[/tex] .

[tex]2sin\frac{\alpha }{2} \left (2sin \frac{\frac{\alpha }{2} -60^\circ}{ 2} cos\frac{\frac{\alpha }{2}+60^\circ}{ 2} \right )=[/tex]
[tex]=4sin\frac{\alpha }{2} sin \left (\frac{\alpha }{4} -30^\circ \right ) cos\left (\frac{\alpha }{4} +30^\circ \right )[/tex]

Ако сте разбрали отделните фрагменти, проследете още веднъж задачата - от условието до отговора.
==============================
Задача д) (първа снимка)
Представете израза [tex]1-cos\alpha -\sqrt{3} sin{\frac{\alpha }{ 2}}[/tex] във вид на произведение.
Решение.
[tex]1-cos\alpha -\sqrt{3} sin\frac{\alpha }{ 2}= 2sin^2 \left ( \frac{\alpha }{2} \right ) -\sqrt{3} sin\frac{\alpha }{ 2}[/tex][tex]=2sin\frac{\alpha }{2}\left (sin\frac{\alpha }{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} \right )=[/tex]
[tex]=2sin\frac{\alpha }{2} \left (sin\frac{\alpha }{2} -sin60^\circ \right )=[/tex]
[tex]=2sin\frac{\alpha }{2} \left (2sin \frac{\frac{\alpha }{2} -60^\circ}{ 2} cos\frac{\frac{\alpha }{2}+60^\circ}{ 2} \right )=4sin\frac{\alpha }{2} sin \left (\frac{\alpha }{4} -30^\circ \right ) cos\left (\frac{\alpha }{4} +30^\circ \right )[/tex].
==============================
Задача в) (първа снимка)
Представете израза [tex]sin \alpha + sin 2\alpha +sin 3\alpha[/tex] във вид на произведение.
Решение.
[tex]sin \alpha + sin 2\alpha +sin 3\alpha=[/tex]

[tex]=(sin \alpha + sin 3\alpha) +sin 2\alpha=[/tex]

[tex]=2sin {\frac{\alpha +3\alpha }{ 2}} cos{\frac{\alpha -3\alpha}{ 2}}+sin 2\alpha=[/tex]

[tex]=2sin {2\alpha } cos{\alpha}+sin 2\alpha=[/tex]

[tex]=2sin {2\alpha } \left (cos{\alpha}+\frac{1}{ 2} \right ) =[/tex]

[tex]=2sin {2\alpha } \left (cos{\alpha}+cos 60^\circ \right ) =[/tex]

[tex]=2sin {2\alpha } \left (2cos {\frac{\alpha + 60^\circ }{ 2}} cos{\frac{\alpha - 60^\circ }{ 2}} \right ) =[/tex]

[tex]=4sin {2\alpha } .cos {\left (\frac{\alpha }{ 2}+ 30^\circ \right )} .cos{\left (\frac{\alpha }{ 2}- 30^\circ \right )}[/tex]
============================================

Във втората задача използвахме същите принципи както в първата, но на моменти с други формули.
Например вместо [tex](\ast)[/tex] използвахме
[tex]cos{x}+cos{y}=2cos {\frac{x+y}{ 2}} cos{\frac{x-y}{ 2}}[/tex] [tex](\ast \ast)[/tex]
Също така [tex]\frac{1}{2 } =cos60^\circ[/tex]
и още - на едно място се среща [tex]cos(-\alpha )=cos\alpha[/tex].

[Sweet_dreams]

Съжалявам за неудобството със снимките. Все пак успях да реша някои задачи и сама, което си е напредък. Благодаря за подробните обяснения!