Трапец

[Гост]

Бедрата на трапец са m и n, като m<n, голямата му основа е a, а ъглите на трапеца при нея се отнасят както 1:2. Да се намери малката му основа.
Отговорът е: ([tex]m^{2}[/tex] + am - [tex]n^{2}[/tex]) / m.

[Knowledge Greedy]

Бедрата на трапец са m и n, като m<n, голямата му основа е a, а ъглите на трапеца при нея се отнасят както 1:2. Да се намери малката му основа.
Решение:
Построяваме през един от върховете на горната основа отсечка, която е успоредна на бедрото несъдържащо този връх.
Получава се триъгълник с ъгли при основата [tex]\alpha[/tex] и [tex]2\alpha[/tex] и прилежащи на тях страни [tex]m[/tex] и [tex]n[/tex].

Горната основа на трапец.PNG (3.25 KiB) Прегледано 205 пъти

По синусова теорема за този триъгълник (на чертежа [tex]\Delta AND[/tex])
[tex]\frac{n}{ sin2\alpha } =\frac{m}{ sin\alpha}[/tex]
намираме [tex]cos\alpha =\frac{m}{ 2n[/tex] [tex](\ast)[/tex]
Извършваме второ основно допълнително построение в трапец - спускаме височините през върховете на горната (малката) основа. Получава се разделяне на трапеца на правоъгълник и два правоъгълни триъгълника.

Горната основа на трапец 2.PNG (3.67 KiB) Прегледано 205 пъти

С определението за косинус изразяваме голямата основа [tex]a=ncos\alpha +b+mcos2\alpha[/tex]
Заместваме [tex]cos2\alpha =2cos^{2}\alpha -1[/tex] и използваме [tex](\ast)[/tex].
Така се получава [tex]b=a+m-\frac{n^2}{m}[/tex] , което е равносилно на вашия отговор.