Четириъгълник

[Гост]

Ъглополовящата на [tex]\angle[/tex]A на четириъгълник ABCD пресича страната BC в т.Е. Радиусът на окръжността, описана около [tex]\Delta[/tex]ECD е 1.5 пъти по=голям от радиуса на окръжността, вписана в [tex]\Delta[/tex]ABE. Да се намери отношението на периметрите на триъгълниците ECD и ABE, ако четириъгълникът AECD е ромб.
Отговор: 1:3
Може ли да ме насочите към нещо за тази задача, защото нищо не мога да измисля.

[monika_at]

g1.png (20.08 KiB) Прегледано 232 пъти

Означаваме [tex]\angle DAC=\alpha =>\angle CDE=\angle CED=90^\circ -\frac{\alpha }{2 }; \angle AEB=\alpha ; AE=DC=a[/tex]

Прилагаме син. т-ма за[tex]\Delta DEC=>R=\frac{a}{ 2cos{\frac{\alpha }{ 2}} }[/tex](*)

Разглеждаме [tex]\Delta API[/tex], където [tex]I[/tex] е центърът на вписаната в равнобедрения [tex]\Delta ABE[/tex]окръжност=>

[tex]tg(\frac{\alpha }{2 })=\frac{2r}{ a} =>r=\frac{a tg{\frac{\alpha }{2} } }{ 2}[/tex](**)\

От (*); (**) и връзката между радиусите получаваме, че [tex]sin{\frac{\alpha }{ 2}}=\frac{2}{ 3}[/tex]

[tex]APB=>cos\alpha =\frac{AP}{AB } =\frac{A}{2AB } =>AB=\frac{a}{2cos\alpha }[/tex]

От формулата за удвоен ъгъл на косинус [tex]cos\alpha =1-2sin^2{{\frac{\alpha }{ 2}}}=>cos\alpha =\frac{1}{9 }=>AB=\frac{9a}{2 }[/tex]=>[tex]P_{ABE}=10a[/tex]

[tex]\Delta DOC=>sin(\frac{\alpha }{2}) =\frac{DO}{ DC} =>DO=\frac{2a}{ 3}=>DE=\frac{4a}{ 3} =>P_{DEC}=\frac{10a}{3 }[/tex]