Множество от стойности

[nikostotel]

В една от примерните задачи за предстоящото ми класно има задача, в която се дава функцията: y=4sin(α + ∏/6) . cos(α - ∏/6). След това се доказва, че тя е тъждествено равна на 2sin2α + √3. Но в следващата подточка се иска да се даде множеството от стойности на функцията, при α [tex]\in[/tex] ( - ∏/6;∏/3). Ще съм много благодарен ако някои ми даде множеството и ми обясни как се получава. Благодаря предварително!

[Knowledge Greedy]

След като е получено, че [tex]y=2sin2\alpha +\sqrt{3}[/tex]
и като знаем , че [tex]\forall x \Rightarrow -1\le sinx\le 1[/tex] , можем да направим последователно следните изводи
[tex]-2\le 2sin2\alpha\le 2[/tex]

[tex]-2+\sqrt{3}\le 2sin2\alpha+\sqrt{3}\le 2+\sqrt{3}[/tex]

[tex]-2+\sqrt{3}\le y\le 2+\sqrt{3}[/tex]
Следователно множеството е [tex][-2+\sqrt{3}; 2+\sqrt{3}][/tex]
----------------------------------------

Но в условието е казано, че [tex]\alpha \in \left (-\frac{\pi }{6} ; \frac{\pi }{3 } \right )[/tex]

Ще разгледаме част от този интервал - интервала [tex]\left (-\frac{\pi }{6} ; \frac{\pi }{4} \right ][/tex]
В този интервал функцията [tex]sin2\alpha[/tex] е растяща.
Като умножим по 2, виждаме че тук са изпълнени неравенствата [tex]-\frac{\pi }{3}< 2\alpha \le \frac{\pi }{2 }[/tex]
И последователно
[tex]sin \left ( -\frac{\pi }{3} )<sin2\alpha \le sin {\frac {\pi }{2 }}[/tex]
[tex]-\frac{\sqrt{3} }{2 } <sin2\alpha \le 1[/tex]

Умножаваме по 2 :
[tex]-\sqrt{3} <2sin2\alpha \le 2[/tex]

Добавяме [tex]\sqrt{3}[/tex]
[tex]0 <2sin2\alpha +\sqrt{3} \le 2+\sqrt{3}[/tex]

Така излезе, че [tex]0 <y \le 2+\sqrt{3}[/tex]
Т.е. множеството от стойностите на [tex]y[/tex] е интервалът [tex](0; 2+\sqrt{3}][/tex]
[tex](\ast)[/tex]
===================================
Добре, но какво се случва в интервала [tex]\left (\frac{\pi }{4} ; \frac{\pi }{3} \right )[/tex] , който отстранихме?

В този интервал функцията [tex]sin2\alpha[/tex] е намаляваща.
Като умножим по 2, виждаме че тук са изпълнени неравенствата [tex]\frac{\pi }{2}< 2\alpha \le \frac{2\pi }{3 }[/tex]
И последователно
[tex]sin {\frac{\pi }{2}} >sin2\alpha > sin {\frac {2\pi }{3 }}[/tex]
[tex]1>sin2\alpha >\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]

Умножаваме по 2 :
[tex]2>2sin2\alpha >\sqrt{3}[/tex]

Добавяме [tex]\sqrt{3}[/tex]
[tex]2+\sqrt{3}>2sin2\alpha+\sqrt{3}>2\sqrt{3}[/tex]

Значи тук множеството от стойностите е [tex](2\sqrt{3}; 2+\sqrt{3})[/tex]
т. е. [tex](\ast)[/tex] не се разширява. Отговор остава [tex](\ast)[/tex]

[nikostotel]

Изключително съм ти благодарен за пълното обяснение. Стана ми ясна задачата, само не разбрах откъде се получава интервала (∏/4; ∏/3). Съжалявам вероятно съм изпуснал нещо, но иначе ми помогна много и много ти благодаря.

[MENKA]

С крайните точки от интервала за алфа се замества вече в намереното тъждество и се получава и изменението на функцията.Не знам защо кноулиджа е дал такова решение.Аз мисля,че се търсят стойностите вече при заместени алфа.

[MENKA]

Само извинете- във второто заместваме с п/3 и имаме 2*sin(2*п/3)+√3=2*√3/2+√3=2*√3

[nikostotel]

Мисля, че вече ми се изясни. Благодаря много и на двамата!

[Knowledge Greedy]

nikostotel , решението на задачата разбих на три части, за да вникнеш дълбоко в същността на нещата.

Ако [tex]a\le x\le b[/tex] , то можем да направим извод [tex]y(a)\le y(x)\le y(b)[/tex] само при две условия.

1. Функцията y(x) да е непрекъсната в [tex][a;b].[/tex]

2. Функцията [tex]y(x)[/tex] да е монотонна в [tex][a;b].[/tex]

Тъй като нашата функция не е монотонна в дадения интервал, аз я разгледах в два интервала, в които тя е монотонна - в първия е растяща - във втория намаляваща.

[MENKA]

Е защо ми даваш вот на недоверие,Кноулидж.Мотивирано обяснение!!!

[monika_at]

Е защо ми даваш вот на недоверие,Кноулидж.Мотивирано обяснение!!!

MENKA, би ли намерила НМС и НГС на [tex]y=sin(2x); x\in [\frac{\pi }{6 } ; \frac{5\pi }{12 } ][/tex]?

[MENKA]

Синусовата функция е нарастваща функция.Затова и решението е това,което съм написала-което е по-простото.

[monika_at]

Синусовата функция е нарастваща функция.Затова и решението е това,което съм написала-което е по-простото.

Аз само искам, да ми кажеш кои са НМС и НГС на моята задача.

[MENKA]

НМС=√3/2
НГС=1

[monika_at]

НМС=√3/2
НГС=1

Как ги пресметна? За НМС не съм съгласна.

[MENKA]

НМС=1/2

[monika_at]

НМС=√2/2

И това не е верен отговор.

[MENKA]

НМС=√2/2

И това не е верен отговор.

ДА,ПРОМЕНИХ ГО ТОКУ ЩО.

[MENKA]

Пресметнах го чрез намиране на производни,локални,абсолютни екстлемуми в този интервал.

[monika_at]

Пресметнах го чрез намиране на производни,локални,абсолютни екстлемуми в този интервал.

Лелееее,,,производни..Няма лошо, но те не винаги са панацея.
Сега може би ще разбереш, защо ти е даден отрицателен вот.

Съобразно условието [tex]2x\in [\frac{\pi }{ 3} ; \frac{5\pi }{6 } ][/tex].

В този интервал (както и в предната задача) функцията [tex]y=sin(2x)[/tex] не е монотонна. Тогава не е редно да заместиш в краищата на интервала и да определиш НМС и НГС.
Тук производни са излишни и ненужни. Достатъчно е да съобразим, че в разглеждания интервал ф-та достига НГС за [tex]x=\frac{\pi }{ 2} =>f(\frac{\pi }{2 })=1[/tex]. Точно в тази точка функцията променя своята монотонност. Тогава НМС ще се достигне в един от двата края. В случая [tex]x=\frac{5\pi }{ 6}[/tex]

[Гост]

Менка тук ще изкара ФМИ-то пак. Само не се знае за колко време у с какви оценки.

[inveidar]

Абе, оставете момичето на спокойствие, бе! Какво сте го емнали с тези отрицателни вотове? Ще го отчаяте така. Ще вземе да се стресне и ще се запише в някой друг ВУЗ да си доучи!!!

[Knowledge Greedy]

Е защо ми даваш вот на недоверие,Кноулидж.Мотивирано обяснение!!!

MENKA, съжалявам за емоционалния вот! По принцип не пиша минуси, но нямах достатъчно време да пиша отново нещо, което направих двукратно в обръщението си към задалия въпроса nikostotel.

[tex]y=2sin2\alpha +\sqrt{3}[/tex] .
В условието е казано, че [tex]\alpha \in \left (-\frac{\pi }{6} ; \frac{\pi }{3 } \right )[/tex]. Ще разгледаме част от този интервал - интервала [tex]\left (-\frac{\pi }{6} ; \frac{\pi }{4} \right ][/tex]
В този интервал функцията [tex]sin2\alpha[/tex] е растяща.
Като умножим по [tex]2[/tex], виждаме че тук са изпълнени неравенствата [tex]-\frac{\pi }{3}< 2\alpha \le \frac{\pi }{2 }[/tex]
И последователно
[tex]sin \left ( -\frac{\pi }{3} )<sin2\alpha \le sin {\frac {\pi }{2 }}[/tex]
[tex]-\frac{\sqrt{3} }{2 } <sin2\alpha \le 1[/tex]

Умножаваме по [tex]2[/tex] :
[tex]-\sqrt{3} <2sin2\alpha \le 2[/tex]

Добавяме [tex]\sqrt{3}[/tex]
[tex]0 <2sin2\alpha +\sqrt{3} \le 2+\sqrt{3}[/tex]

Така излезе, че [tex]0 <y \le 2+\sqrt{3}[/tex]
Т.е. множеството от стойностите на [tex]y[/tex] е интервалът [tex](0; 2+\sqrt{3}][/tex]

В заключение нека спомена, че "моята" най-голяма стойност [tex](2+\sqrt{3})[/tex] е по-голяма от "твоята" най-голяма стойност [tex](2\sqrt{3})[/tex] на същата функция в същия интервал.

Често сме заслепени от чувството за собствена значимост, та не обръщаме внимание на постиженията на другите.

[math10.com]

Менка тук ще изкара ФМИ-то пак. Само не се знае за колко време у с какви оценки.

Ами то си е нужно......
Аз предлагам да си разделим специалностите и да започнем да и преподаваме.Ще направим една седмична програма и ще и четем лекции.Така хем тя ще научи нещо(защото явно в предишното си образование има известни пропуски) хем ще ни пишат в Гинес , за 1-вия онлайн форум университет
А за оценките, зависи как се справя.Поне ще намалим отрицателните вотове

[Гост]

Да. Идеята е добра.

[MENKA]

Менка тук ще изкара ФМИ-то пак. Само не се знае за колко време у с какви оценки.

Не съм завършила ФМИ.

[Гост]

Разгеле, сега имаш възможност да го завършиш.