Призма

[Гост]

Моля Ви за помощ относно следната задача:
Дължините на основните ръбове на права триъгълна призма 6 см, 8см, и 4[tex]\sqrt{6}[/tex] см. През върха на най- големия ъгъл на основата е построена равнина, сечението на която с призмата е равностранен триъгълник. Да се намери страната му.
Отговор 10 см.

[monika_at]

rnn1.png (24.67 KiB) Прегледано 244 пъти

Следваме означенията на основните ръбове на чертежа. В основата най-големият ъгъл е срещу най-голямата страна=>полученото сечение е през върха В. Нека това е [tex]\Delta BMN; BM=MN=NB=m; AM=x; CN=y; y>x[/tex]
През М построваме права [tex]MF||AC[/tex] и така получаваме правоъгълен триъгълник [tex]MFN: MF=4\sqrt{6} ; FN=y-x[/tex]
Прилагаме питагорови теореми за [tex]\Delta MAB; \Delta BCN; \Delta MFN[/tex] и получаваме система с три уравнения и три неизвестни.

[tex](1)x^2+64=m^2;(2) y^2+36=m^2;(3) (y-x)^2+96=m^2[/tex]
(1)-(2)=>[tex]x^2-y^2+28=0[/tex](*)

(3)-(2)=>[tex]x^2-2xy+60=0[/tex](**). Умножаваме (*) по (-15), (**) по 7 и след почленно събираме , получаваме хомогенното уравнение

[tex]15y^2-14xy-8x^2=0=>\frac{y}{x } =\frac{4}{ 3}=>y=\frac{4}{ 3}x[/tex]Взимаме само по-големия корен, защото у>х. Заместваме в(*) и получаваме [tex]x=6[/tex]. Заместваме полученото в (1)=>[tex]m=10[/tex]