Числови редици

[Гост]

1.Дадена е редицата с общ член
[tex]a_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}[/tex]
Да се докаже, че [tex]a_n=\frac{n}{n+1}[/tex]

2.Дадена е редица с общ член [tex]a_n=(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3{^2}{^1}})(1+\frac{1}{3{^2}{^2}})...(1+\frac{1}{3{^2}{^n}})[/tex]
Да се докаже, че [tex]a_n=\frac{3}{2}(1-\frac{1}{3^{2n+1}})[/tex]

Някой може ли да ми обясни този тип задачи? Ще съм много благодарен!

[pal702004]

Тъй като и в двата случая е даден отговора и трябва само да се докаже, разумно е да се използва математическа индукция. (макар че в първата е излишно). Базите се проверяват тривиално. Индукционният преход:
1. [tex]a_n=a_{n-1}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n-1}{n}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n^2-1}{n(n+1)}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}[/tex]

Втори метод: тъй като [tex]\frac{1}{k(k+1)}=\frac 1 k -\frac{1}{k+1}[/tex],

[tex]a_n=(1-\frac 1 2)+(\frac 1 2 -\frac 1 3)+(\frac 1 3 - \frac 1 4)+\cdots (\frac 1 n-\frac{1}{n+1})[/tex]

Всичко се съкращава, остава само [tex]a_n=1-\frac{1}{n+1}[/tex]

2. Малко си объркал степените. Трябва да се докаже, че [tex]a_n=\frac 3 2\left(1-\frac{1}{3^{2^{n+1}}}\right)[/tex]

По индукция. Прехода

[tex]a_n=a_{n-1}\cdot (1+\frac{1}{3^{2^n}})=\frac 3 2(1-\frac{1}{3^{2^n}})(1+\frac{1}{3^{2^n}})=\frac 3 2\left(1-\frac{1}{3^{2^{n+1}}}\right)[/tex]