Задача от математическа индукция

[Гост]

Моля, някой да ми обясни по-подробно как се решават този тип задачи, че от учебника не ми стана никак ясно
Ако n е естествено число, докажете неравенството:
[tex]2^n>n+1[/tex] за всяко [tex]n≥2[/tex]

[monika_at]

Моля, някой да ми обясни по-подробно как се решават този тип задачи, че от учебника не ми стана никак ясно
Ако n е естествено число, докажете неравенството:
[tex]2^n>n+1[/tex] за всяко [tex]n\ge2[/tex]

1) Проверяваме неравенството за [tex]n=2=>4>3=>[/tex] неравенството е изпълнено.

2)Допускаме, че е изпълнено за произволно [tex]n=k=>2^k>k+1[/tex]. Идеята е да докажем, че е изпълнено и за следващото [tex]n=k+1[/tex], т.е. [tex]2{k+1}>k+2[/tex]

[tex]2^{k+1}=2.2^k>2(k+1)=2k+2>k+2[/tex]=>неравенството е вярно за всички [tex]n\ge 2[/tex]

[Гост]

Моля, някой да ми обясни по-подробно как се решават този тип задачи, че от учебника не ми стана никак ясно
Ако n е естествено число, докажете неравенството:
[tex]2^n>n+1[/tex] за всяко [tex]n\ge2[/tex]

1) Проверяваме неравенството за [tex]n=2=>4>3=>[/tex] неравенството е изпълнено.

2)Допускаме, че е изпълнено за произволно [tex]n=k=>2^k>k+1[/tex]. Идеята е да докажем, че е изпълнено и за следващото [tex]n=k+1[/tex], т.е. [tex]2{k+1}>k+2[/tex]

[tex]2^{k+1}=2.2^k>2(k+1)=2k+2>k+2[/tex]=>неравенството е вярно за всички [tex]n\ge 2[/tex]

[tex]2{k+1}>k+2[/tex] само това не разбрах откаде идва?
Заместваме в [tex]2^k>k+1[/tex]с k+1 нали?
[tex]2^{k+1}=2k+1[/tex]??? Това ли се получава?

[Knowledge Greedy]

[tex]2^n>n+1[/tex] за всяко [tex]n\ge 2[/tex]

Индукцията е като една стълба.
Първото стъпало госпожа monika_at описа подробно. За първата възможна стойност на [tex]n[/tex], [tex]n=2.[/tex]
Твърдението при първата възможна стойност на [tex]n[/tex] се нарича БАЗА на индукцията.

Второто стъпало е при [tex]n=3[/tex]. Вярно ли е, че [tex]2^3>3+1[/tex]? - да [tex]8>4[/tex].
Третото стъпало е при [tex]n=4[/tex]. Вярно ли е, че [tex]2^4>4+1[/tex]? - да [tex]16>5[/tex].
Четвъртото стъпало е при [tex]n=5[/tex]. Вярно ли е, че [tex]2^5>5+1[/tex] ? - да [tex]32>6[/tex].
Петото стъпало е при [tex]n=6[/tex]. Вярно ли е, че [tex]2^6>6+1[/tex]? - да [tex]64>7[/tex].
...
До кога да продължаваме така? До безкрайност? Само Господ има време и място да свърши тази работа (измежду многото други, които го чакат!) Ето защо Човек постъпва така:
- показваме, че ако твърдението е вярно за [tex]k[/tex], т.е. успели сме да стъпим на [tex]k-[/tex]тото стъпало, то твърдението ще е вярно и за [tex]k+1-[/tex]вото - значи можем да стъпим на [tex]k+1-[/tex]вото.

Това твърдение се нарича ИНДУКЦИОНЕН ПРЕХОД. По този начин не ни се налага да правим пълна проверка на твърдението за всички възможни стойности на [tex]n[/tex].
Достатъчно е да посочим ПЪТЯ, по който от всяко стъпало (след първото) може да се качим на следващото.
Тази стъпка госпожа monika_at също описа подробно, но аз ще я повторя още по-подробно.

На стъпалото с номер [tex]k[/tex] сме установили, че неравенството е вярно.

[tex]2^k>k+1[/tex]

Умножаваме двете му страни по [tex]2[/tex].
[tex]2.2^k>2(k+1)[/tex]

В лявата страна се получава [tex]2^{k+1}[/tex]. Отдясно разкриваме скобите и имаме [tex]2k+2[/tex]

Значи неравенството става [tex]2^{k+1}>2k+2[/tex]

И стигаме до твоя въпрос

...[tex]2{k+1}>k+2[/tex] само това не разбрах откаде идва?
...

Тъй като [tex]k>2[/tex], то [tex]k+k>k+2[/tex] и следователно дясната страна на неравенството е дори още по-малка.

Значи [tex]2^{k+1}>k+2[/tex] - вече сме на [tex]k+1[/tex]-вото стъпало.

[Гост]

...[tex]2{k+1}>k+2[/tex] само това не разбрах откаде идва?
Заместваме в [tex]2^k>k+1[/tex]с k+1 нали?
[tex]2^{k+1}=2k+1[/tex]??? Това ли се получава?

Не просто е сбъркано. Това: [tex]2{k+1}>k+2[/tex] го чети като: [tex]2^{k+1}>k+2[/tex]

[Knowledge Greedy]

...
Не,просто е сбъркано. Това: [tex]2{k+1}>k+2[/tex] го чети като: [tex]2^{k+1}>k+2[/tex]

Да, беше ясно, че човекът е пропуснал да постави знака [tex]\Lambda[/tex] за степен в първото неравенство преди въпроса.

...[tex]2{k+1}>k+2[/tex] само това не разбрах откъде идва?
Заместваме в [tex]2^k>k+1[/tex]с k+1 нали?
[tex]2^{k+1}=2k+1[/tex]??? Това ли се получава?

Но вторият му въпрос ме накара да повторя решението на monika_at, защото теоремата ППМИ явно не е разбрана.

Третият въпрос си е вече чисто техническа грешка, целта е точно тази - да се получи това, което е написал като резултат във втория въпрос - и като форма на резултата, а не като предпоставка.

Защото все пак като сложим [tex]k+1[/tex] вместо [tex]m[/tex] в неравенството [tex]2^m>m+1[/tex] , ще получим не

[tex]2^{k+1}>2k+1[/tex], а ще получим [tex]2^{k+1}>k+1+1,[/tex]
т.е.
[tex]2^{k+1}>k+2[/tex] - това, което monika_at целеше и което направи.

[Гост]

Докажете, че неравенството [tex]2^n>n^2[/tex] за всяко естествено число [tex]n≥5[/tex]

1) за [tex]n=5 => 2^5>5^2[/tex] [tex]32>25 =>[/tex] изпълнено
2) за [tex]n=k => 2^k>k_2[/tex] (k≥5)
[tex]=>n=k+1[/tex]
[tex]2.2^k>2k^2[/tex]
[tex]2^{k+1}>2k^2[/tex]
k≥5 [tex]=> k^2+k^2>k^2+5[/tex]
=> е изпълнено и за k+1

Това вярно ли е?

[Гост]

[quote="Knowledge Greedy...Да, беше ясно, че човекът е пропуснал да постави знака [tex]\Lambda[/tex] за степен в първото неравенство преди въпроса.
...[/quote]
Не човекът, този който му го е обяснил на "човека" (в поста преди това) е пропуснал!
Да бъдем точни все пак.

[monika_at]

Какво съм пропуснала?

[Гост]

...
.... Идеята е да докажем, че е изпълнено и за следващото [tex]n=k+1[/tex], т.е. [tex]2{k+1}>k+2[/tex]

Ми, не е ли ясно? Ей тази червената чавка:
2^{k+1}>k+2

[Knowledge Greedy]

А тук вече става въпрос за съвсем друга задача (червеното са моите забележки):

Докажете, че неравенството [tex]2^n>n^2[/tex] за всяко естествено число [tex]n\ge 5[/tex]

Доказателство:
1) за [tex]n=5 => 2^5>5^2[/tex] [tex]32>25 =>[/tex] изпълнено
2) за [tex]n=k => 2^k>k_2[/tex] (k≥5) Тук е добре в началото да кажем: Нека твърдението е вярно за някое [tex]n[/tex], [tex]n=k\ge5[/tex] - това е предпоставката или още - условието на индукционния преход.
[tex]=>n=k+1[/tex] ?! Следва да напишем: "ще го докажем за [tex]n=k+1[/tex]
[tex]2.2^k>2k^2[/tex]
[tex]2^{k+1}>2k^2[/tex] и тук вече пишем: "наистина е така", защото при
k≥5 [tex]=> k^2+k^2>k^2+5[/tex]
=> е изпълнено и за k+1 .До тук са направени двете компоненти на ППМИ - базата и инд. преход.
Това вярно ли е? Да. Вярно е!

Все пак остава едно нещо - заключението: [tex]\Rightarrow[/tex] съгласно ППМИ (принципа на пълната математическа индукция) твърдението е вярно за всяко естествено число [tex]n\ge 5[/tex]
Това не е маловажно. Все едно да приготвиш всичко - например при готвенето - всички съставки на яденето са в тавата, тя е във фурната ... , но никой не е включил тока (или газта).

Бих приел решението на контролна работа, при ограничено време и други стресови фактори.

Но нека още веднъж да подчертая, каква е конструкцията на ППМИ.
Това е теорема с две условия и едно заключение.
[tex]\left.\begin{matrix}
C_1\\
C_2
\end{matrix}\right\}\Rightarrow F[/tex]
Сложното тук е, че докато първото условие [tex](C_1)[/tex] е сравнително лесно проверяем факт - БАЗАТА на индукцията, то самото условие [tex]C_2[/tex] e заключение на твърдение, което трябва да се докаже - т.е. [tex]B\Rightarrow C_2[/tex]. Това твърдение е ИНДУКЦИОННИЯТ ПРЕХОД.

В началото - докато придобием опит с използването на ППМИ, е добре всеки път да си припомняме формулировката. Искаме да докажем твърдение [tex]T(n)[/tex], което зависи от естественото число [tex]n[/tex]. Ако [tex]n\ge m[/tex], формулировката изглежда така:
[tex]\left.\begin{matrix}
T(m)\\
T(k)\Rightarrow T(k+1)
\end{matrix}\right\}\Rightarrow T(n),\forall n\ge m[/tex]

[monika_at]

...
.... Идеята е да докажем, че е изпълнено и за следващото [tex]n=k+1[/tex], т.е. [tex]2{k+1}>k+2[/tex]

Ми, не е ли ясно? Ей тази червената чавка:
2^{k+1}>k+2

Техническа грешка в степенния показател.