ТРИГОНОМЕТРИЯ ПОМОЩ

[Гост]

Може ли някой да ми обясни за обобщен ъгъл там завъртанията на 360 градуса. Не мога нещо да ги разбера. И периодияноста ме затруднява, моля ако можете, обяснете я.

[ptj]

http://www1.znam.bg/zmonres/edu/matematika%2011%20klas_Anubis/MAT6/page_05.htm

[Zarrie]

Да започнем с това, че и четирите тригонометрични функции изучавани в училищния, са периодични.
Първо ще разгледаме синус и косинус - техният период е 360 градуса или записано в радиани - [tex]2 \pi[/tex]
Сега ще обясня защо:

675px-Sin_Cos_Tan_Cot_unit_circle.svg.png (21.06 KiB) Прегледано 1591 пъти

Това е т.н. единична окръжност. Препоръчвам ти винаги да работиш с нея, защото в аналитичен вид на тригонометрията, основно тя дава смисъл на всичко.
Синусът и косинусът са функции. Функцията от своя страна е като машина - вкарваш нещо в нея и тя връща продукт. В случая тригонометричните функции поемат алгебрична мярка на ъгъл и връщат функционална стойност. Тези стойности принадлежат в интервала [tex][-1;1][/tex] защото всяка от функциите получава стойност като проектираме върху съответната ос пресечната точка на второто рамо на ъгъла, който сме дали на функцията. С други думи и по-просто обяснено - На чертежа имаме ъгъл [tex]\alpha[/tex]. Както виждаш този ъгъл е образуван от оста Ox и втората права, която определя ъгъла. Окръжността, която споменах е същата тази единична окръжност (тя се нарича така, защото радиусът ѝ се разглежда като единица мярка, което не е задължително да е 1 см, а просто единица мярка, както на картата има мащаб, в зависимост от обекта, който се разглежда, та това е също мащаб)

Виждаме, че колкото и да въртим второто рамо, т.е. правата, тя винаги ще пресича окръжността, образувайки отсечка с дължина единица мярка, затова и е ограничението на функциите.
Двете оси, образуващи координатната система отговарят на синус и косинус - абсцисата е оста на ко[tex][/tex]синус, а ордината на синус. Там където се пресичат зелената, червената стрелка и окръжността се определя и стойността на функциите. С други думи - проекцията на тази точка върху абсцисата, или оста на косинусите е косинусът на съответния ъгъл, в случая [tex]\alpha[/tex], а проекцията върху ординатата, или оста на синусите - стойността на синуса на ъгъла. В зависимост от преместването на тази точка по окръжността, което става като променяме стойността на ъгъла, местим и второто рамо, тоест правата, върху което лежи то, а това определя и нов ъгъл. Така се променят стойностите на тригонометричните функции. Най-важното от казаното е да разбереш как функциите приемат стойностите си.
Ще го синтезирам пак накратко - второто рамо определя ъгъл, който пресича единичната окръжност в точка и тази точка проектирайки я върху оста на синус или косинус дава съответната стойност на функцията за ъгъла. ( Ако не го разбираш пиши и ще го обясним пак, ако не аз, някой по-компетентен )
Сега идваме на твоя въпрос. Виждаш, че тази черна права, т.е. второто рамо на ъгъла пресича тази окръжност в точка, както казах вече, но представи си, че завъртим тази права на 360 градуса! Какво ще стане тогава? Правата ще се озове на същото място , което означава, че въпреки, че имаме ъгъл, който е с цели 360 градуса по-голям, проектирайки точката, в която рамото пресича окръжността, върху осите на синус и косинус ( ординатата и абсцисата), ще получим същите функционални стойности - затова и функцията е периодична.
Ако погледнеш графиката на синусоидата ще забележиш, че наистина тя е перфектно симетрична и през даден интервал (период) започва да извършва повтарящо се движение.
Освен това, обаче, тези функции приемат едни и същи стойности и за ъгли от вида [tex]\alpha , 90 + \alpha[/tex] за синус и [tex]\alpha, -\alpha[/tex] за косинус
Ще обясним защо, отново от графична гледна точка.

2.JPG (18.82 KiB) Прегледано 1591 пъти

Отново представяйки си как проектираме точката, в която второто рамо пресича окръжността, виждаме, че пренасяйки симетрично (относно ординатата за синус и относно абсцисата за косинус) същото това рамо, ще пресечем окръжността в точка, чиято проекция върху оста ще приема същата стойност
На чертежа се вижда много ясно как за ъгли с разлика 90 градуса се наблюдава точно това.
Отново синтезирам - за ъгъл с 90 градуса по-голям от елементарния, проекцията на точката върху оста на синусите дава една и съща стойност за двата ъгъла!
За косинус ситуацията е аналогична. Ако имаме ъгъл от 45 градуса, то второто рамо на ъгъла се проектира в точка, в която ще се проектира и при ъгъл от -45 градуса, защото второто рамо на ъгъла ще е симетрично спрямо абсцисата и точките, в които проектираме пресечната точка с окръжността ще съвпадат, т.е. ще приема една и съща стойност за двете стойности на ъгъла.

cos.jpg (34.75 KiB) Прегледано 1591 пъти

При тангенс и котангенс, причината да са периодични е отново същата, с разликата, че там периодът е 180 градуса или [tex]\pi[/tex], защото правата, която пресича оста на тангенса и на котангеса съвпада със "себе си" при въртене от 180 градуса. Ето го и графично
https://fbcdn-sphotos-h-a.akamaihd.net/ ... 2e4e57a645
Червената права е ъгълът, за който функцията тангенс приема стойност. Пунктираните прави са демонстрация на това какво става като започнем мислено да въртим тази червена права и виждаме, че след 180 градуса тя съвпада със себе си, което значи че те отново ще пресече оста на тангенсите в "пресечна точка" и ще приеме същата стойност. Затова функцията на тангенс е периодична. За котантенс разсъжденията са абсолютно същите, само че работиш с оста на котангенсите ако нещо не е ясно - питай!

[Гост]

Едно голямо БЛАГОДАРЯ! Наистина ги разбрах , така като ми ги обясни. Благодаря, много отново!!! :)

[Zarrie]

Удоволствието е мое