Стереометрия

[Гост]

Даден е триъгълник и равнина, която не пресича страните му.Разстоянията от върховете на триъгълника до равнината са a,b,c.Намерете разстоянието от медицентъра на триъгълника до равнината.

[Zarrie]

Отговорът [tex]\frac{a+b+c}{3}[/tex]ли е ?

[Гост]

Би ли могъл да ми я обясниш :)

[Zarrie]

Бих, само че ме интересува дали това е отговорът, тъй като не искам да пиша неща, които не са верни

[Гост]

След като те помолих, значи това е отговора :D

[Zarrie]

Ето тук едно чертежче, по което ще ти обясня, че е по-лесно така
Трапеца BB'C'C е правоъгълен, и точката [tex]A_{1}[/tex] е среда на тази страна.
[tex]A_{1}M \bot \gamma \Rightarrow \bot B'C'[/tex]
и тъй като е перпендикулярна на B'C' и [tex]A_{1}[/tex]е среда, то [tex]A_{1}M[/tex]е средна отсечка в трапеца BB'C'C
от това следва, че е равна на [tex]A_{1}M = \frac{b+c}{2}[/tex]
Сега разглеждаме трапеца [tex]A_{1}MA'A[/tex], който явно също е правоъгълен
(Това, че тези трапци са правоъгълни следва от това, че отсечките до равнината от върховете на триъгълника са перпендикулярни на равнината.)
Построяваме височина от върха, при по-малката основа, при която нямаме прав ъгъл ( в случая това е върха А)
И в нашия случай a<[tex]A_{1}M[/tex]. Тази височина е до страната [tex]A_{1}M[/tex] ( това е височина в правоъгълен трапец, но изискванията ги поставям, тъй като не е дадено дали a>b>c или a<b>c или a<b<c ... , а височината, която искаме да построим е по-удобно да има пета, която е вътрешна за трапеца точка.)
И така, височината е AH ([tex]H z A_{1}M[/tex])
Нека [tex]GG' \cap AH_{1} =H_{1}[/tex]
От тук получаваме два триъгълника, които са подобни - [tex]\Delta A_{1}HA , \Delta GH_{1}A[/tex]
Образувайки отношение на страните им се получава [tex]\frac{A_{1}H}{GH_{1}} = \frac{A_{1}A}{GA} \Rightarrow GH_{1}=\frac{b+c-2a}{3}, GG' = GH +H_{1}G' =\frac{b+c-2a}{3} +a =\frac{a+b+c}{3}[/tex]

[ptj]

Най-бързия вариант е с координати на вектори, но се съмнявам че не сте ги учили в училище.

T.e. от пространственото векторно равенство [tex]\vec{OA}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})[/tex] следва аналогично и за координатите. Тогава ако изберем така 3-мерната (ортонормирана) координатната система, че една от равнините да съвпада с дадената в условието, то ще получим точно исканото в условието.

[Гост]

Можеш ли да го обясниш това равенство. Векторите сме ги вземали, но не им обърнахме внимание.

[Гост]

Мерси за обяснението с чертежа, ама ми е много трудно да разбера точно какво правиш...Можеш ли накратко като за бавноразвиващ да ми обясниш каква е идеята и после да мога да разбера и това, което си написал :)

[Zarrie]

Ами използвам това, че a, b, c са разстоянията до равнината, а по дефиниция, разстоянието е перпендикуляр от нещото до нещото, в случая от върховете на триъгълника до равнината. Тоест имам три перпендикуляра към равнината. Тези перпендикуляри, след като са перпендикулярни на една и съща равнина са успоредни помежду си и затова твърдя, че образуват трапци, които отгоре на всичко са правоъгълни. Първо намирам средната отсечка от единия, защото между двата перпендикуляра е точката на медианата, която разделя страната. После от другия трапец намирам разстоянието от медицентровете, което също е перпендикуляр към равнината, защото е разстояние.
Много е простичко, не се отчайвай, просто го прочети няколко пъти и бавничко се опитвай да го правиш, а не просто да го четеш и така ще го осъзнаеш. Трудно се предават знания от разстояние, знам от личен опит! Не се отказвай Ще се опитам да обясня още повече, а ако някой от по-вещите може да ти обясни - нека го направи.

[Гост]

Тази точка H не мога да я открия на чертежа :(

[Zarrie]

Няма я, съжалявам, че не я направих. Точката Н се получава като от точката А спуснеш перпендикуляр към отсечката [tex]A_{1}M[/tex] и точката Н лежи на тази отсечка.

[Гост]

Мерси много.
П.С.: Много мразя да не успявам да разбера елементарни задачи :)

[ptj]

Не съм написал правилно векторното равенство.

Ако т.[tex]G[/tex] e медицентър на [tex]\Delta ABC[/tex], то за произволна точка в 3-мерното (евклидово) пространството е вярно [tex]\vec{ОG}=\frac{1}{3}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})[/tex].

Тогава ако минем към координати, като едно от направленията е перпендикулярно на зададената в условието равнина, то горното векторно равенство ще се трансформира в 3 аналогични координатни равенства, едното от които ще е точно исканото за доказване.