Тригонометрия: дадена е стойността на cotgx

[Гост]

Здравейте!
В задачата, която се опитвам да реша, е казано да се намерят останалите тригонометрични функции, като е дадена стойността [tex]cotgx = 8/15[/tex] и x принадлежи на интервала от (3п/2 до 2п)
Аз успях да намеря само стойността на тангенса, но оттам нататък не мога да намеря синус и косинус. Опитах се с [tex]tg = sin\alpha[/tex]/ [tex]cos\alpha[/tex] , но естествено няма как, тъй като и двете са неизвестни. Просто нямам други идеи.

[Zarrie]

Точно така се решава - както си опитал.
[tex]cotg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} = \frac{a}{b}[/tex] Това е стойността на котангенса, но той е равен на отношението на косинус и синус, тоест ти имаш това отношение.
От него изразяваш [tex]cos\alpha = a.x, sin\alpha = b.x , sin^{2} \alpha + cos ^2 \alpha = 1 \Rightarrow (bx)^2 + (ax)^2 = 1[/tex]От тук ще получиш стойности за х, тъй като то е единствено неизвестно. Ще получиш "по колко части притежават" синус и косинус, в даденото отношение
Опитай да го направиш сам, а ако не успееш ще ти я реша.
Най-просто казано имаш [tex]\frac{cos}{sin} = \frac{3}{4}[/tex] Което значи - 3 части косинус са равни на 4 части синус. От основното тригонометрично тъждество заместваш с тези 3 и 4 части ( това са примерни стойности ) и получаваш на колко е равна една част (х) и после я разпределяш на функции - 3 части за косинус и 4 части за синус.

[Гост]

Нещо не те разбрах. Как да намеря синус и косинус от отношението им с тангенса или котангенса, след като и двете са неизвестни?

[Гост]

И откъде дойде това 3/4?

[Zarrie]

Както пише там - това са примерни стойности

[Zarrie]

Те са неизвестни, но са функции на една променлива - [tex]\alpha[/tex]
Нека ти го обясня по-просто:
Имаш отсечката AB и точката M върху нея. Дадено е, че AB = 6 см.
и това, че [tex]\frac{AM}{MB} = \frac{2}{1}[/tex]
Как ще намериш дължините на АМ и MB?
Тъй като ти е дадено отношението и цялата дължина ти си представяш, че цялата отсечка е 3 части и после виждаш, че едната по-малка притежава 1 част от цялата, а другата 2 части от цялата и казваш : АМ=4см и МВ = 2 см.
С тригонометричните функции е същото.
Дадено ти е отношението на косинус и синус, което е стойността на котангенса. Ако може да се направи аналогия, то косинус и синус са малките отсечки горе, а основно тригонометрично свойство е цялата отсечка АВ.
Като видиш колко части от цялото (цялото е основното тригонометрично свойство, защото то дава връзка между синус и косинус и това, че сбора от квадратите им е константа.) Знаеш, че [tex]sin^2 \alpha + cos ^2 \alpha = 1[/tex]И замествайки получаваш една част. Разделяш частите спрямо това коя функция колко притежава.

[monika_at]

Здравейте!
В задачата, която се опитвам да реша, е казано да се намерят останалите тригонометрични функции, като е дадена стойността [tex]cotgx = 8/15[/tex] и x принадлежи на интервала от (3п/2 до 2п)
Аз успях да намеря само стойността на тангенса, но оттам нататък не мога да намеря синус и косинус. Опитах се с [tex]tg = sin\alpha[/tex]/ [tex]cos\alpha[/tex] , но естествено няма как, тъй като и двете са неизвестни. Просто нямам други идеи.

В този интервал няма как котангенсът да е положителен.

[Гост]

Тоест става:

[tex]sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1[/tex]
[tex]15^2 + 8^2 =1[/tex]

Или не?

[Гост]

@monika_at
Това ми е ясно, но аз добавям знаците след като съм получила стойността.

[Zarrie]

Да, само че означи с х, частите си, или с което и да е неизвестно, защото това не е вярно равенство.
[tex](15x)^2 + (8x)^2=1 \Rightarrow x = \frac{1}{17}[/tex]

[Гост]

Но пак не ми е ясно как с 1/17 се намират sin и cos.... съвсем се обърках.

[Zarrie]

[tex]cotg x = \frac{cos x}{sinx} = \frac{8}{15} \Rightarrow cosx =8x, sinx=15x,x=\frac{1}{17} \Rightarrow cosx = \frac{8}{17}, sinx = \frac{15}{17}[/tex]
Прочети пак какво ти написах по-горе като теория... по-простичко не мога да го изкажа, съжалявам.

[amsara]

Здравейте!
В задачата, която се опитвам да реша, е казано да се намерят останалите тригонометрични функции, като е дадена стойността [tex]cotgx = 8/15[/tex] и x принадлежи на интервала от (3п/2 до 2п)
Аз успях да намеря само стойността на тангенса, но оттам нататък не мога да намеря синус и косинус. Опитах се с [tex]tg = sin\alpha[/tex]/ [tex]cos\alpha[/tex] , но естествено няма как, тъй като и двете са неизвестни. Просто нямам други идеи.

Направи си система с две уравнения - точно колкото са и неизвестните ти.
Ще ти покажа как, но само при условие, че работим с дадената от теб стойност за котангенса, но съc знак "-", тъй като в зададения интервал cotg е отрицателен.
Първо уравнение:
[tex]cotg\alpha=-\frac{8}{15} <=> \frac{cos\alpha}{sin\alpha}=-\frac{8}{15} <=> -8sin\alpha=15cos\alpha[/tex]

Второто уравнение:
Него ще си направиш с помощта на основното тригонометрично тъждество:
[tex]sin^2\alpha+cos^2\alpha=1[/tex]

Хайде, събери сега двете в система:
\begin{array}{|l} -8sin\alpha=15cos\alpha \\ sin^2\alpha+cos^2\alpha = 1 \end{array}

Какво остава да направиш от тук нататък? Да изразиш едното неизвестно чрез другото и да заместиш. Например изрази от първото синуса чрез косинуса и замести във второто. Ще получиш квадратно уравнение за косинуса. Тоест ще имаш два негови корена. Ще се наложи да махнеш единия, след като се съобразиш с интервала за ъгъла. Вече ще имаш стойността на косинуса. Съc заместване в изразеното ще намериш и синуса. Липсва ти само тангенсът, но той може да бъде намерен още съвсем в началото, тъй като е реципрочен на дадения котангенс.

[ptj]

Използвай тъждествата:

[tex]1+cotg^2(\alpha)=\frac{1}{sin^2(\alpha)}[/tex]

[tex]1+tg^2(\alpha)=\frac{1}{cos^2(\alpha)}[/tex]

[Гост]

Благодаря на всички! Мисля, че с тъждествата, които написа ptj ще ми бъде най-лесно и бързо.