sin^3x.cos3x + cos^3x.sin3x=3/4

[Гост]

Здравейте приятели!
След хубавата, дълга ваканция идва време за малко задачи по математика, а честно казано на мен не ми се отдава много , макар че опитвам и внимавам в час :P .
Та , ако някой ми помогне ще му съм изключително благодарен. Имам някаква идея как се решават , но не мога да ги реша до край.

1) sin^3x.cos3x + cos^3x.sin3x=3/4 (тая не знам как да я реша)
2) sin3x + 2sin5x =3 (3-та я представяме като 3(sin^2x+cos^2x) и изнасяме общ множител?)
3) (sinx.cosx) + 2sin2x=1 (правя формулата син*кос и после? )
4)Да се докаже , че за всяко a принадлежащо на R , уравнението a(sinx+cosx) + 2sin2x=1 има решение. (тая не знам как се решава изобщо).

Наистина , ако някой ги реши ще съм му вечно благодарен. ~*blush*~

[s.karakoleva]

1.
[tex]\sin^3x\cos 3x+\cos^3x\sin 3x=\frac34[/tex]
[tex]\sin^3x(4\cos^3x-3\cos x)+\cos^3x(3\sin x-4\sin^3x)=\frac34[/tex]
[tex]\cancel{4\sin^3 x\cos^3x}-3\sin^3x\cos x+3\sin x\cos^3x-\cancel{4\sin^3x\cos^3 x}=\frac34[/tex]
[tex]3\sin x\cos x(\cos^2x-\sin^2x )=\frac34[/tex]
[tex]\frac12\sin 2x\cos 2x=\frac14[/tex]
[tex]\frac12\sin 4x=\frac12[/tex]
[tex]\sin 4x=1[/tex]
[tex]4x=\frac{\pi}2+2k\pi, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}[/tex]

2.
[tex]\sin 3x+2\sin 5x=3[/tex]
Това е много интересна задача! Естественият път с използване на формулите от http://mathworld.wolfram.com/Multiple-A ... mulas.html
води до корени на полином от 5-та степен [tex]32 t^5-44t^3+13t-3=0, \mbox{ където } t=\sin x[/tex]
Този полином има само един реален корен, но той е по-голям от 1.
Ако се вгледаме в условието на задачата и отчетем факта, че и двата синуса са ограничени в [tex][-1,1][/tex], единственото решение за тази задача може да се получи ако и двата синуса са равни на 1. Тогава 1+2.1=3
[tex]\sin 3x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}[/tex]
[tex]\sin 5x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}[/tex]
Търсим за кое цяло число [tex]k[/tex] е вярно [tex]\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}[/tex]
Получава се [tex]k=-\frac14[/tex], което не е цяло число. Следователно, уравнението няма решение. Това се потвърждава и от графиката, която не пресича абсцисата:

sinusi.png (16.11 KiB) Прегледано 1771 пъти

3. Третото уравнение е най-лесно:
[tex]\sin x\cos x+2\sin 2x=1[/tex]
[tex]\frac12\sin 2x+2\sin 2x=1[/tex]
[tex]\frac52\sin 2x=1[/tex]
[tex]\sin 2x=\frac25[/tex]
[tex]x=\frac12\arcsin \frac25\approx 0.2058 (rad)[/tex]

Толкова от мен!

[Гост]

wow , Благодаря ти много за помоща , наистина !!!
Много интересно , че втора задача е толкова сложна. ще се посъветвам с учител за нея.
До колко 4-та мисля ,че я реших.Накрая получавам , че за да има решение дискриминантната трябва да е по-голяма или равна на 0 , D=a^4+9x^2>0 - решение!

[inveidar]

1.
[tex]\sin 3x+2\sin 5x=3[/tex]
[tex]\sin 3x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}[/tex]
[tex]\sin 5x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}[/tex]
Търсим за кое цяло число [tex]k[/tex] е вярно [tex]\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}[/tex]
Получава се [tex]k=-\frac14[/tex], което не е цяло число. Следователно, уравнението няма решение.

Ще си позволя лека забележка.
По принцип би трябвало да пишете
[tex]\sin 3x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}[/tex]
[tex]\sin 5x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{2l\pi}{5}[/tex]
и след това да решите в цели числа уравнението
[tex]\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}=\frac{\pi}{10}+\frac{2l\pi}{5}[/tex],
което след опростяване се свежда до [tex]10l=10k+1[/tex]. Лявата страна е четно число, а дясната - нечетно. Следователно уравнението няма решение в цели числа, а от там и задачата.

[pal702004]

Забележката не е лека, защото грешката си е сериозна. Но иначе поздравления

[s.karakoleva]

Благодаря за забележката! Небрежност може би, не е незнание.

А за последната задача никой не се изказа? Никой ли не я реши? Ще публикувам моето решение след малко, но ще се радвам и на други идеи.

[s.karakoleva]

[tex]\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}=\frac{\pi}{10}+\frac{2l\pi}{5}[/tex],
което след опростяване се свежда до [tex]10l=10k+1[/tex]. Лявата страна е четно число, а дясната - нечетно. Следователно уравнението няма решение в цели числа, а от там и задачата.

За да сме съвсем точни: Уравнението, което се получава е [tex]6l=10k+1[/tex].

[pal702004]

А за последната задача никой не се изказа? Никой ли не я реши? Ще публикувам моето решение след малко, но ще се радвам и на други идеи.

Идеята е ясна, ако [tex]\sin x+\cos x=t \in [-\sqrt 2;\sqrt 2][/tex]
то [tex]\sin{2x}=t^2-1[/tex] и полученото квадратно уравнение има корен в указаният интервал. Но важното е да решава искащият помощ.

[Гост]

http://imagizer.imageshack.us/a/img903/1729/w39eF5.jpg
Мисля , че я реших.

[pal702004]

Ти решаваш уравнението [tex]\sin x+\cos x+2\sin{2x}=1[/tex] (и си получл излишни корени), а доколкото виждам задачата е съвсем, съвсем друга:

4)Да се докаже , че за всяко a принадлежащо на R , уравнението a(sinx+cosx) + 2sin2x=1 има решение.

Къде е параметъра a?

[s.karakoleva]

4.
[tex]a(\sin x+\cos x)+\sin 2x=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x[/tex]

[tex]a(\sin x+\cos x)+\sin 2x=(\cos x-\sin x)^2[/tex]

[tex]\sqrt2a\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\sin 2x=2\sin^2 \left(\frac{\pi}{4}-x\right)[/tex]

[tex]\sqrt2a\cos t+\sin\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)=2\sin^2t[/tex], където [tex]t=\frac{\pi}{4}-x[/tex]

[tex]\sqrt2a\cos t+\cos 2t=2\sin^2t\ldots[/tex]

[tex]4\cos^2t +\sqrt2a\cos t-3=0[/tex]

Пол. [tex]\sqrt2\cos t=u, -\sqrt2\leq u\leq \sqrt2[/tex] и се получава квадратно уравнение [tex]2u^2+au-3=0[/tex] с [tex]D=a^2+24>0[/tex] за [tex]\forall a[/tex] и за върха на параболата стойността на квадратния тричлен е винаги отрицателно число [tex](-24-\frac{a^2}{8})[/tex], т.е. има решение за [tex]\forall а[/tex].

[monika_at]

Пол. [tex]\sqrt2\cos t=u, -\sqrt2\leq u\leq \sqrt2[/tex] и се получава квадратно уравнение [tex]2u^2+au-3=0[/tex] с [tex]D=a^2+24>0[/tex] за [tex]\forall a[/tex] и за върха на параболата стойността на квадратния тричлен е винаги отрицателно число [tex](-24-\frac{a^2}{8})[/tex], т.е. има решение за [tex]\forall а[/tex].

Това, че за [tex]x=\frac{-24-a^2}{8}<0[/tex], значи ли автоматично, че уравнението има решение, за всяко а?

[pal702004]

Това че квадратното уравнение [tex]2t^2+at-3=0[/tex] (до което по един или друг начин се стига) има реални корени за всяко a е ясно, но нас ни интересува има ли корени в интервала [tex][-\sqrt 2;\sqrt 2][/tex]. Виет казва, че [tex]t_1t_2=-\frac 3 2[/tex], което автоматично изключва варианта [tex]t_1<-\sqrt 2,\;t_2>\sqrt 2[/tex]