Стереометрия: Намерете околния ръб на пирамидата

[soncheto92]

Двустенният ъгъл, определен от две съседни околни стени на правилна четириъгълна пирамида е 120[tex]^\circ[/tex] . Намерете околния ръб на пирамидата, ако основният ръб е a.

[Spider Iovkov]

Всичко съм означил на картинката. В общия случай ще работим с ъгъл [tex]2 \alpha[/tex] вместо с дадения от [tex]120^\circ[/tex].

Построяваме [tex]DH \bot EC[/tex]. Понеже [tex]\triangle DCE \simeq \triangle BCE[/tex], то и [tex]BH \bot EC[/tex]. Така [tex]\angle DHB = 2 \alpha[/tex].

Ясно е, че [tex]BD^2 = 2a^2[/tex]. За удобство си означаваме [tex]BH = DH = y[/tex].

От [tex]\triangle BHD[/tex] по косинусовата теорема за страната [tex]BD[/tex] пресмятаме

[tex]BD^2 = BH^2 + DH^2 - 2 . BH . DH . cos \angle DHB \Leftrightarrow 2a^2 = y^2 + y^2 - 2 . y^2 . cos 2 \alpha \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 2a^2 = 2y^2 ( 1 - cos 2 \alpha ) \Leftrightarrow a^2 = 2 y^2 sin^2 \alpha \Leftrightarrow y^2 = \frac{a^2}{2 sin^2 \alpha} \Leftrightarrow BH^2 = DH^2 = \frac{a^2}{2 sin^2 \alpha}[/tex].

Веднага виждаме, че е изпълнена системата уравнения

[tex]\begin{array}{||} BH^2 + CH^2 = BC^2 \\ BH^2 + EH^2 = BE^2 \end{array} \Rightarrow BC^2 - CH^2 = BE^2 - EH^2 \Leftrightarrow a^2 - x^2 = b^2 - (b-x)^2[/tex].

Като разкрием скобите и съкратим ненужните неща, определяме [tex]a^2 = 2bx \Leftrightarrow a^4 = 4b^2 x^2[/tex].

Сега [tex]BH^2 + CH^2 = BC^2 \Leftrightarrow \frac{a^2}{2 sin^2 \alpha} + x^2 = a^2 \Leftrightarrow x^2 = a^2 \left ( 1 - \frac{1}{2 sin^2 \alpha} \right ) \Leftrightarrow x^2 = \frac{a^2 \left ( 2 sin^2 \alpha - 1 \right )}{2 sin^2 \alpha}[/tex].

Така [tex]b^2 = \frac{a^4}{4x^2} \Leftrightarrow b^2 = \frac{a^2 sin^2 \alpha}{2 \left ( 2 sin^2 \alpha - 1 \right )}[/tex]. При [tex]2 \alpha = 120^\circ \Leftrightarrow \alpha = 60^\circ[/tex] получаваме

[tex]b^2 = \frac{a^2 sin^2 60^\circ}{2 \left ( 2 sin^2 60^\circ - 1 \right )} \Leftrightarrow b^2 = \frac{3}{4} a^2[/tex].