Пирамида с височина h и ъгъл между две съседни околни стени

[Гост]

Правилна четириъгълна пирамида има височина h и ъгъл 2[tex]\alpha[/tex] между две съседни околни стени. Намерете околната повърхнина. Помощ хора ..

[Knowledge Greedy]

Явно - съгласно определението за ъгъл между околни стени, ъгъл [tex]2 \alpha[/tex] е ъгълът между височините на две съседни околни стени, спуснати към общия им околен ръб.
Ако диагоналът на основата означим с [tex]2d[/tex] , откриваме височината към околен ръб [tex]\frac{d}{sin\alpha}[/tex] (- от един равнобедрен триъгълник с основа диагонала на квадрата на основата на пирамидата и бедра - двете височини).

Самият околен ръб по теоремата на Питагор, е равен на [tex]\sqrt{h^2+d^2}[/tex].
Със същата теорема основният ръб [tex]a=d\sqrt{2}[/tex] и апотемата [tex]k=\sqrt{\left ( \frac{d\sqrt{2}}{2} \right )^2+h^2}[/tex] (апотема - това е височина на околна стена спусната към основния ръб).
Изразяваме повърхнината на една околна стена по два начина.
Първият [tex]S=\frac{1}{2}\sqrt{h^2+d^2}\frac{d}{sin\alpha}=\frac{d\sqrt{h^2+d^2}}{{2sin\alpha}}[/tex] с височина към бедрото и самото бедро (околният ръб).
Втори начин - с основата и апотемата: [tex]S=\frac{1}{2}d\sqrt{2}k=\frac{1}{2}d\sqrt{d^2+2h^2}[/tex]

След приравняване двете форми на [tex]S,[/tex] откриваме че [tex]d=\frac{\sqrt{2sin^2\alpha-1}}{cos\alpha}h[/tex]

Следователно цялата околна повърхнина на пирамидата е [tex]4S=...[/tex] - заместваме намереното [tex]d[/tex] в една от двете формули и умножаваме по 4.