За основа на триъгълна пирамида ABCM служи равнобедрен триъг

[Гост]

За основа на триъгълна пирамида ABCM служи равнобедрен триъгълник АВС (АС=ВС), като АВ=30. Околните стени сключват с основата ъгли равни на 60∘ . Намерете обема на пирамидата, ако АМ=25. Моля някой поне да ме насочи ..

[Knowledge Greedy]

Щом околните стени сключват равни ъгли с основата, то центърът [tex]I[/tex] на вписаната в основата окръжност е ортогонална проекция на върха [tex]M[/tex] на пирамидата върху равнината на основата.

Нека [tex]T[/tex] е допирната точка на вписаната в основата [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност с основата ѝ [tex]AB[/tex] - това всъщност е средата на [tex]AB[/tex] , защото триъгълникът е равнобедрен. Вписаната окръжност има радиус [tex]r[/tex], следователно [tex]\frac{H}{r}=tg60^\circ[/tex] или височината на пирамидата [tex]H=r\sqrt{3}[/tex] (Всичко това - от триъгълника [tex]\Delta TIM[/tex] - тъй като [tex]\angle ITM[/tex] е линейният ъгъл между околната стена [tex](ABM)[/tex] и основата [tex](ABC)[/tex])

Сега да разгледаме околната стена [tex]\Delta ABM[/tex] - знаем по условие всичките ѝ страни. Апотемата ѝ [tex]k=20[/tex] и тогава [tex]r=kcos 60^\circ=10[/tex]
Намерихме височината на пирамидата [tex]H=10\sqrt{3}[/tex]

Връщаме се към основата. Тя вече е напълно определена с радиуса [tex]r=10[/tex] на вписаната си окръжност и с основата [tex]AB=30[/tex]
Веднага получаваме [tex]CT=36[/tex] и лицето на основата [tex]S_{\Delta ABC}=540[/tex].

Значи търсеният обем [tex]V_{ABCM}=1800\sqrt{3}[/tex].

[Гост]

как намираш СТ=36

[Knowledge Greedy]

Един начин е с [tex]tg\frac{\alpha}{2}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}[/tex] - виж на чертежа [tex]\Delta BIT[/tex]

Добавка.PNG (8.94 KiB) Прегледано 740 пъти

Оттук [tex]tg\alpha =\frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1-tg^2 \frac{\alpha}{2}}=\frac{12}{5}[/tex]

След това от [tex]\Delta TBC[/tex]
[tex]tg\alpha = \frac{CT}{TB}[/tex]

Приравняваме [tex]\frac{CT}{TB}=\frac{12}{5}[/tex]

Следователно [tex]CT=\frac{12}{5}.15=36[/tex]