Пирамида с основа квадрат

[Гост]

Основата на пирамида е квадрат. Две от околните стени са перпендикулярни на основата, а другите две сключват с нея ъгъл [tex]\alpha[/tex] . Намерете обема на пирамидата, ако радиусът на описаната около коя да е от наклонените околни стени окръжност е R.
Помогнете моля ви

[S.B.]

Без заглавие (10).png (377.88 KiB) Прегледано 1064 пъти

Основата на пирамида е квадрат. Две от околните стени са перпендикулярни на основата, а другите две сключват с нея ъгъл [tex]\alpha[/tex] . Намерете обема на пирамидата, ако радиусът на описаната около коя да е от наклонените околни стени окръжност е R.
Помогнете моля ви

[tex]AD[/tex] е проекция на [tex]AE[/tex] и [tex]AD \bot AB \Rightarrow AE \bot AB[/tex] (теорема за трите перпендикуляра)[tex]\Rightarrow \triangle ABE[/tex] е правоъгълен;
От условието,че около него може да се опише окръжност с радиус =[tex]R[/tex] следва,че хипотенузата [tex]BE = 2R[/tex]; Стената [tex]ABE[/tex] е наклонена под [tex]\angle \alpha[/tex] към основата,[tex]\angle BAE = 90^\circ , AE \bot AB и AD\bot AB \Rightarrow \angle EAD = \alpha[/tex];
Нека страната на квадрата [tex]AB = x[/tex] , а височината [tex]DE = h[/tex]
От [tex]\triangle ADE \Rightarrow \frac{DE}{AD} = tg\alpha \Leftrightarrow \frac{h}{x} = tg\alpha \Rightarrow h = x.tg\alpha[/tex]
По Питагор [tex]AE^{2} = AD^{2} + DE^{2} \Leftrightarrow (2R)^{2} = x^{2} + h^{2} \Rightarrow 4R^{2} = x^{2} + h^{2}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} h = x.tg\alpha \\x^{2} + h^{2} = 4R^{2}\end{array} \Leftrightarrow x^{2} + x^{2}.tg^{2}\alpha = 4R^{2} \Leftrightarrow x^{2} =\frac{4R^{2}}{(1 + tg^{2}\alpha)} \Rightarrow x = \frac{2R}{\sqrt{1 + tg^{2}\alpha}} , h = \frac{2R.tg\alpha}{\sqrt{1 + tg^{2}\alpha}}[/tex]
[tex]V = \frac{1}{3}x^{2}.h = \frac{1}{3}.\frac{4R^{2}}{1 + tg^{2}\alpha}.\frac{2R.tg\alpha}{\sqrt{1 + tg^{2}\alpha}} = \frac{8R^{3}tg\alpha\sqrt{1 + tg^{2}\alpha}}{3.(1 + tg^{2}\alpha)^{2}}[/tex]

[Гост]

Решението не е вярно.Там, където се прилага Питагоровата теорема за триъгълник ADE, погрешно е сметната хипотенузата AE за 2R. Не тя, а BE e 2R, която от своя страна е хипотенуза в ABE и AE е катет.
Правилно е да се разгледа правоъгълен триъгълник BDE, в който хипотенузата е 2R, DE = x.tg[tex]\alpha[/tex], a BD=[tex]\sqrt{2}[/tex].x и за него да се прилага Питагорова теорема.