Прогресии

[Гост]

1) Три числа са геомрична прогресия. Ако първото го увеличим с 3, второто увеличим с 1, а третото намалим с 5, ще получим аритметична прогресия. Намерете числата.
2)Три числа са аритметична прогресия. Ако първото намалим с 3, второто намалим с 1, а третото увеличим с 5, ще получим геометрична прогресия. Намерете числата.

[Knowledge Greedy]

1. Тази задача е неопределена. Това означава, че тричленните геометрични прогресии, които се трансформират в аритметични прогресии - посредством добавянето на 3, 1, (-5), са безбройно много.

За параметър ще изберем разликата [tex]d[/tex] на получената в последствие аритметична прогресия.
При [tex]d=2[/tex]
геометричната прогресия е [tex]4, \,\ 8, \,\ 16[/tex] - частното [tex]q=2[/tex]
аритметичната прогресия е [tex]7, \,\ 9, \,\ 11[/tex]

При [tex]d=4[/tex]
геометричната прогресия е [tex]9, \,\ 15, \,\ 25[/tex] - частното [tex]q=\frac{5}{3}[/tex]
аритметичната прогресия е [tex]12, \,\ 16, \,\ 20[/tex]

При [tex]d=6[/tex]
геометричната прогресия е [tex]16, \,\ 24, \,\ 36[/tex] - частното [tex]q=\frac{3}{2}[/tex]
аритметичната прогресия е [tex]19, \,\ 25, \,\ 31[/tex]
... ... ... ... ...

В общия случай, за произволно [tex]d\in \mathbb{R}[/tex] (с изключения [tex]d\ne 0[/tex] и [tex]d\ne -2[/tex] - тогава се получават константни редици.)

геометричната прогресия е [tex]\frac{(d+2)^2}{4}, \,\ \frac{(d+2)(d+6)}{4}, \,\ \frac{(d+6)^2}{4}[/tex] - частното [tex]q=\frac{d+6}{d+2}[/tex]
аритметичната прогресия е [tex]\frac{d^2+4d+16}{4}, \,\ \frac{d^2+8d+16}{4}, \,\ \frac{d^2+12d+16}{4}[/tex]

[pal702004]

Двете задачи са една и съща задача. Да тръгнем от геометричната:
[tex]x,xy,xy^2[/tex] - геометрична

[tex]x+3,xy+1,xy^2-5[/tex] - аритметична, тоест

[tex]xy-x-2=xy^2-6-xy[/tex]

[tex]x(y-1)^2=4[/tex]

[tex]x=\left(\frac{2}{y-1}\right)^2\quad \forall y\ne 1[/tex]

[pal702004]

Или общо решение за геометрическата прогресия с един параметър

[tex](k-1)^2,k^2-1,(k+1)^2[/tex]