Вписан правоъгълен паралелепипед

[Гост]

Основата на пирамида и квадрат със страна а. Двете околни стени са перпендикулярни на основата, а най-големият околен ръб сключва с основата ъгъл [tex]\beta[/tex] .В пирамидата е вписан правоъгълен паралелепипед така, че четири от върховете му лежат на околните ръбове на пирамидата, а другите четири - на основата. Намерете обема на паралелепипеда, ако диагоналът му сключва с основата ъгъл [tex]\alpha[/tex].
Помогнете ми

[Knowledge Greedy]

Основата на пирамида e квадрат със страна а. Две околни стени са перпендикулярни на основата, ..

Това означава, че общият им околен ръб - на чертежа [tex]MD\bot (ABCD)[/tex], включително и [tex]MD\bot BD[/tex]

Паралелепипедът в пирамидата 1.PNG (7.21 KiB) Прегледано 311 пъти

Ето защо първият триъгълник, който ще разгледаме - в диагоналното сечение (BDM) на пирамидата, е правоъгълен.
(Чертеж 2.)На този чертеж са изобразени и дадените в условието ъгли [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex].

Паралелепипедът в пирамидата 2.PNG (3.39 KiB) Прегледано 311 пъти

Оттук образуваме отношенията [tex]\frac{c}{b\sqrt{2}}=tg\alpha[/tex] и [tex]\frac{c}{(a-b)\sqrt{2}}=tg\beta[/tex].
Приравнявайки от двете равенства [tex]\frac{c}{\sqrt{2}}[/tex], получаваме страната на основата на вписания в пирамидата правоъгълен паралелепипед
[tex]b=\frac{tg\beta}{tg\alpha+tg\beta}a[/tex]
След това написваме височината [tex]c[/tex] на паралелепипеда [tex]c=\frac{tg \alpha tg\beta \sqrt{2}}{tg\alpha+tg\beta}a[/tex].
Всичко необходимо за намиране на обема му е на лице.