Задача за триъгълна пирамида

[Гост]

Бихте ли ми помогнали с тази задача?

Основата на триъгълна пирамида е правоъгълен триъгълник с хипотенуза с и остър ъгъл алфа, а околните ръбове сключват с равнината на основата ъгъл бета. Намерете обема на пирамидата.

[ptj]

Пирамида [tex]ABCD[/tex].

Единия катет в основата е [tex]c.cos\alpha[/tex], a другия [tex]c.cos(90^\circ-\alpha)=c.sin\alpha[/tex] .
За лицето на основата получаваме [tex]S_{ABC}=\frac{c^2.sin\alpha.cos\alpha}{2}=\frac{c^2.sin(2\alpha)}{4}[/tex] .

Ако [tex]DA_1,DB_1,DC_1[/tex] са апотеми в околните стени, а т.[tex]O[/tex] ортогоналната проекция на върха [tex]D[/tex] в основата.

От "една права е перпендикулярна на права в равнина тогава и само тогава, когато ортогоналната й проекция е перпендукулярна на същата права от равнината" намираме [tex]OC_1\bot AB ; OB_1\bot AC; OA_1\bot BC[/tex] .

Освен това [tex]\frac{OD}{tg\beta}=OA_1=OB_1=OC_1[/tex], т.е. точка [tex]О[/tex] е център на вписаната в основата окръжност.

[tex]\frac{c^2.sin(2\alpha)}{4}=S_{ABC}=p.r=\frac{(c+c.sin\alpha+c.cos\alpha)}{2}.r[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow r =\frac{c.sin(2\alpha)}{2(1+sin\alpha+cos\alpha)}[/tex]

[tex]OV=r.tg\beta=\frac{c.sin(2\alpha).tg\beta}{2(1+sin\alpha+cos\alpha)}[/tex]

[tex]V_{ABCD}=\frac{1}{3}.OD.S_{ABC}=\frac{c.sin(2\alpha).tg\beta}{2(1+sin\alpha+cos\alpha)}.\frac{c^2.sin(2\alpha)}{4}=\frac{c^3.sin^2(2\alpha).tg\beta}{8(1+sin\alpha+cos\alpha)}[/tex]