векторни бази

[Гост]

Докажете, че за произволен пространствен четириъгълник АВСD е изпълнено равинството [tex]\vec{РМ}[/tex]= [tex]\frac{1}{2}[/tex]([tex]\vec{AB}[/tex] + [tex]\vec{DC}[/tex] . където Р и М са средите съответно на страните АD и ВС.
Помощ, че ни мога да се оправя с тия вектори ..

[Добромир Глухаров]

Нека вземем произволна точка [tex]O[/tex]. Имаме:

[tex]\vec{OP}=\frac{1}{2}\left(\vec{OA}+\vec{OD}\right)[/tex]
[tex]\vec{OM}=\frac{1}{2}\left(\vec{OB}+\vec{OC}\right)[/tex]

[tex]\vec{PM}=\vec{OM}-\vec{OP}=\frac{1}{2}\left(\vec{OB}-\vec{OA}+\vec{OC}-\vec{OD}\right)=\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{DC}\right)[/tex]

[ptj]

[tex]\vec{PA}+\vec{AB}+\vec{BM}=\vec{PM}=\vec{PD}+\vec{DC}+\vec{CM} \Rightarrow[/tex]

[tex]2\vec{PM}=(\vec{PA}+\vec{PD})+\vec{AB}+\vec{DC}+(\vec{BM}+\vec{CM} )=\vec 0+\vec{AB}+\vec{DC}+\vec 0=\vec{AB}+\vec{DC}[/tex]

П.П. Образно казано от [tex]P[/tex] до [tex]М[/tex] има два недиректни пътя, единия през [tex]A-B[/tex] другия през [tex]D-C[/tex].