отношение

[Гост]

Точка А1 дели страната СВ на [tex]\Delta[/tex]АВС в отношение 3:5. Точка Р дели отсечката АА1 в отношение 2:3. Намерете отношението, в което пресечната точка В1 на правите ВР и АС дели страната АС.
Помощ ...

[ptj]

Права през [tex]A_1[/tex] успоредна на [tex]BP[/tex] пресича [tex]AC[/tex] в точка [tex]K[/tex].

Теорема на Талес :
1.) [tex]\frac{АB_1}{B_1K}=\frac{AP}{PA_1}=\frac{2}{3}=\frac{10}{15}[/tex]

2.) [tex]\frac{B_1K}{KC}=\frac{BA_1}{A_1C}=\frac{5}{3}=\frac{15}{9}[/tex]

От 1.) и 2.) [tex]\Rightarrow \frac{AB_1}{B_1C}=\frac{AB_1}{B_1K+KC}=\frac{10}{15+9}=\frac{5}{12}[/tex]

[Гост]

Права през [tex]A_1[/tex] успоредна на [tex]BP[/tex] пресича [tex]AC[/tex] в точка [tex]K[/tex].

Теорема на Талес :
1.) [tex]\frac{АB_1}{B_1K}=\frac{AP}{PA_1}=\frac{2}{3}=\frac{10}{15}[/tex]

2.) [tex]\frac{B_1K}{KC}=\frac{BA_1}{A_1C}=\frac{5}{3}=\frac{15}{9}[/tex]

От 1.) и 2.) [tex]\Rightarrow \frac{AB_1}{B_1C}=\frac{AB_1}{B_1K+KC}=\frac{10}{15+9}=\frac{5}{12}[/tex]

обаче ми трябва чрез вектори ... ако можеш

[ptj]

[tex]\vec AC=\vec a; \vec AB=\vec b;[/tex]

[tex]\vec {AA_1}=\frac{5}{8}\vec a+\frac{3}{8}\vec b[/tex]

[tex]\vec{AP}=\frac{2}{5}\vec {AA_1}=\frac{5}{20}\vec a+\frac{3}{20}\vec b[/tex]

[tex]\vec {BP}=\vec {BA} + \vec {AP}=-\vec b + (\frac{5}{20}\vec a+\frac{3}{20}\vec b)=\frac{5}{20}\vec a-\frac{17}{20}\vec b[/tex]

[tex]\vec{BC}=-\vec b +\vec a[/tex]

[tex]\vec{BP}=\frac{5}{20}(\vec a - \vec b)+ \frac{12}{20}(-\vec b)=\frac{5}{20}\vec {CB}+\frac{12}{20}\vec{BA}[/tex]

[tex]\vec{BP}\parallel \vec {BB_1}\Leftrightarrow k.\vec{BP}=\vec {BB_1}[/tex]

[tex]BB_1=\frac{5k}{20}\vec {CB}+\frac{12k}{20}\vec{BA}[/tex]

т.е. [tex]k=\frac{20}{17}[/tex] и [tex]AB_1:B_1C=5:12[/tex]

П.П. Освен търсеното съотношение намерихме и [tex]BP:PB_1=17:3[/tex].

П.ПП. С теорема на Менелай решението е само един ред.

[tex]1=\frac{АP}{PA_1}.\frac{A_1B}{BC}.\frac{CB_1}{B_1A}=\frac{2.5.CB_1}{3.8.B_1A}\Leftrightarrow\frac{AB_1}{B_1C}=\frac{5}{12}[/tex]