Математическа индукция

[Гост]

Ако n е естествено число, докажете неравенството:
[tex]\frac{1}{\sqrt{1}}[/tex] + [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] + [tex]\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex] + ...+ [tex]\frac{1}{\sqrt{n}}[/tex] [tex]\ge[/tex] [tex]\sqrt{n}[/tex] за всяко n
Моля ви помогнете.

[ptj]

(1): Равенство се достига при [tex]n=1[/tex], т.е. [tex]\frac{1}{\sqrt{1}}=\sqrt{1}[/tex]

Ще докажем, че за всяко естествено [tex]n>2[/tex]
(*): [tex]\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}} + ...+ \frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}[/tex]

(2): Нека [tex]\forall k\le n : k,n\in N[/tex] е изпълнено [tex]\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}} + ...+ \frac{1}{\sqrt{k}}\ge\sqrt{k}[/tex]

(3): [tex]1+\sqrt{\frac{n}{n+1}}>1[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}>(n+1)-n[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}>(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})[/tex]

[tex]\frac{1}{\sqrt{n+1}}>(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})[/tex]

Събираме левите и десните страни на последното и (*):

[tex]\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}} + ...+ \frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}[/tex]

Т.е. ние доказахме (*) за [tex](n+1)[/tex].

От (1),(2),(3) съгласно ПМО [tex]\Rightarrow \forall n>1 (n\in N): \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}} + ...+ \frac{1}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}[/tex]