Числови редици

[Гост]

Дадена е редицата с общ член аn =[tex]\frac{1}{1.3}[/tex] + [tex]\frac{1}{3.5}[/tex] + [tex]\frac{1}{5.7}[/tex] + ...+ [tex]\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}[/tex]
Докажете, че an = [tex]\frac{1}{2}[/tex](1-[tex]\frac{1}{2n+1}[/tex])
Ако не ви затруднявам с малко по-пълно решение, че имам проблем с тези задачи.

[Knowledge Greedy]

Ако задачата е упражнение върху математическа индукция (ППМИ), ето решение.
Пресмятаме [tex]a_1[/tex] по дадената формула [tex]a_n=\frac{1}{1.3} +\frac{1}{3.5} +\frac{1}{5.7} +...+\frac{1}{(2n-1).(2n+1)}[/tex]
При [tex]n=1[/tex] дадената формула има само една дроб

[tex]a_1=\frac{1}{(2n-1).(2n-1)} =\frac{1}{1.3}=\frac{1}{3}[/tex]

По формулата, която искаме да докажем
[tex]\frac{1}{2}\left (1-\frac{1}{2n+1} \right )[/tex] при [tex]n=1[/tex] получаваме [tex]\frac{1}{2}\left (1-\frac{1}{2n+1} \right )=\frac{1}{2}\left (1-\frac{1}{2.1+1} \right )=\frac{1}{2} \left (1-\frac{1}{3} \right )=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{3}[/tex] - същото.
Значи формулата, която искаме да докажем действа.
Базата на индукцията е осигурена.

Сега индукционният преход.
Да допуснем, че за някое естествено число [tex]k, \,\ k\ge 1[/tex] сме доказали, че формулата [tex]a_k=\frac{1}{1.3} +\frac{1}{3.5} +\frac{1}{5.7} +...+\frac{1}{(2k-1).(2k+1)}[/tex] може да се запише така [tex]a_k=\frac{1}{2}\left (1-\frac{1}{2k+1} \right )[/tex]
Ще докажем, че това е вярно и за следващото естествено число - числото [tex](k+1)[/tex], а именно
[tex]a_{k+1}=\frac{1}{1.3} +\frac{1}{3.5} +\frac{1}{5.7} +...+\frac{1}{(2k-1).(2k+1)}+\frac{1}{(2k+1).(2k+3)}[/tex] може да се запише така [tex]a_{k+1}=\frac{1}{2}\left (1-\frac{1}{2k+3} \right )[/tex]
Да забележим, че
[tex]a_{k+1}=\underbrace{\frac{1}{1.3} +\frac{1}{3.5} +\frac{1}{5.7} +...+\frac{1}{(2k-1).(2k+1)}}+\frac{1}{(2k+1).(2k+3)}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]a_{k+1}=a_k+\frac{1}{(2k+1).(2k+3)}[/tex] (Според определението на [tex]a_n[/tex] в условието)

[tex]a_{k+1}=\frac{1}{2}\left (1-\frac{1}{2k+1} \right )+\frac{1}{(2k+1).(2k+3)}[/tex] - според индукционното предположение.

Извършваме няколко преобразувания, сред които разкриване на скоби, привеждане под общ знаменател, събиране на дроби, опростяване изнасяне на множител [tex]\frac{1}{2}[/tex], и получаваме [tex]a_{k+1}=\frac{1}{2}\left (1-\frac{1}{2k+3} \right )[/tex] - т.к.т.д.
Условията на ППМИ са доказани.
Следователно, съгласно принципа на пълната математическа индукция (ППМИ), твърдението е вярно за всяко естествено число [tex]n.[/tex]

[inveidar]

А ако задачата не е упражнение върху математическа индукция? Аз ли да го напиша? Защото тази задача, решавана с индукция. опорочава красотата на математиката!!!

[ptj]

Напротив, ПМО е изключително мощен и ефективен метод на доказателство. За учениците е препоръчително да могат да прилагат подобни универсални идеи.

[Knowledge Greedy]

Математическата индукция е един подход да надзърнем в безкрайността. След като сме ограничени във времето и пространството, елегантната стълба, която представлява индукцията, потенциално ни пренася в безкрайността.
_____________

А ако задачата не е упражнение върху математическа индукция? Аз ли да го напиша? ...

Ами напиши го, де! Стар Мърморко

[inveidar]

Напротив, ПМО е изключително мощен и ефективен метод на доказателство. За учениците е препоръчително да могат да прилагат подобни универсални идеи.

Абсолютно съм съгласен, но не и с тази задача.

[inveidar]

Математическата индукция е един подход да надзърнем в безкрайността. След като сме ограничени във времето и пространството, елегантната стълба, която представлява индукцията, потенциално ни пренася в безкрайността.

Добре, че ми каза! Не го знаех. Като започнеш някаква работа, не е зле да не я оставяш недовършена. Няма значение каква е работата!

[0xdeadbeef]

[tex]\frac{1}{(2n-1)(2n+1) } = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)[/tex]

Да разпишем първите членове

[tex]\frac{1}{2}\left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} ... \right)[/tex] и така нататък, получавам това което искаме

[KOPMOPAH]

Начинът на решаване на 0xdeadbeef е приложим за всички задачи от типа [tex]\frac{1}{a.b}+\frac{1}{b.c}+...[/tex] и е много лесен и елегантен!

[Knowledge Greedy]

Тук има място за спор.

Начинът на решаване на 0xdeadbeef е приложим за всички задачи от типа ... и е много лесен и елегантен!

Пълен non-sens.

Има толкова много задачи с този вид, които не могат да се решат така. Връщаме се с повече от 250 години назад, когато са поставяни основите съвременната ни математика. Известни са споровете за това "Що е то многоточие?", за сходящите и условно сходящи редове, верижните дроби, границите, производните и пр. Всички те довеждат до развитие на ППМИ.
Ако искаме задачата да е описана както трябва, ще приемете метода на ППМИ.
Ако искаме да общуваме на по-високо ниво[tex]^{\ast}[/tex] - някои ще го разберат, може да приемем за някои задачи обяснението на 0xdeadbeef. Тези, които разбират, няма да отрекат, че това е силно съкратен запис на приложението на ППМИ.
Останалото, погледнато песимистично, е реклама - PR (профанизация ).
Погледнато оптимистично - това е събиране на публика и фенове на математиката .
_______________
[tex]^{\ast}[/tex] С "по-високо" ниво искам да кажа, не описание на решения; не доказателство за пред обучаеми, а разговор - беседа на едно и също ниво в йерархията.
_______________
И за да не спамя излишно - ето едно предложение. Намерете с "елегантния" начин сумите [tex]B[/tex] и [tex]C[/tex]. А за подсещане, [tex]A[/tex].
[tex]A=\sum_{\nu=1}^{\infty }\frac{1}{\nu^2-1}[/tex]

[tex]B=\sum_{\nu=1}^{\infty }\frac{1}{\nu(2\nu+1}[/tex]

[tex]C=\sum_{\nu=1}^{\infty }\frac{(-1)^{\nu}}{\nu^2+\nu-2}[/tex]