Остър ъгъл и произволна точка L

[Гост]

Здравейте, зов за помощ.

Нека е даден остър ъгъл AOP и точка L е избрана произволно във вътрешността на този
ъгъл. Да означим OL разстоянието на тази точка до върха на ъгъла AOP. Избираме
произволно точки M и N съответно върху раменете OP и OA на дадения ъгъл и разглеждаме
получения триъгълник MLN. Да се намерят такива точки M и N съответно върху раменете
OP и OA на дадения ъгъл, за които полученият триъгълник MLN има минимален периметър.

Решение (симетрия) (от друга тема): Нека построим симетричните точки на L спрямо правите а и p. Да ги означим съответно като F и Q. Нека правата FQ пресича а и р съответно в точки N и M.
Тогава PMNL=LN+LM+NM=NF+MQ+NM=FQ
Сега да вземем произволни точки N1∈a;M1∈p=>PM1N1L=LN1+N1M1+M1L=FN1+N1M1+M1Q>FQ (неравенство между страните в четириъгълник)=> периметърът ще е минимален, когато M и N са пресечните точки на раменете на ъгъла с правата, минаваща през симетричните точки на т.L спрямо тези рамене (правите а и р).

Въпросът ми е как може да се намери минималният периметър на триъгълника MLN по дадени:
- големина на острия ъгъл ОP
- дължина на разстоянието OL
Благодаря Ви.

[Knowledge Greedy]

Много добър въпрос.
Нека означим с [tex]M_2[/tex] пресечната точка на лъча [tex]Op^{\rightarrow}[/tex] с отсечката [tex]LQ[/tex] (по Вашия чертеж).
По същия начин да означим с [tex]N_2[/tex] пресечната точка на лъча [tex]Oa^{\rightarrow}[/tex] с отсечката [tex]LF[/tex].

Любознателният гост от 23 юли от 9 и30.png (23.58 KiB) Прегледано 384 пъти

За десетокласниците и някои деветокласници е лесно. Ще намерят отсечката [tex]M_2N_2[/tex] като първо построят окръжност с диаметър [tex]OL[/tex] - това е възможно, защото ъглите [tex]\angle OM_2L= \angle ON_2L=90^\circ[/tex], а след това ще приложат синусова теорема за [tex]M_2N_2L[/tex].

Ако острият ъгъл е [tex]\alpha[/tex] (на Вашия чертеж е с връх O - между лъчите [tex]Op^{\rightarrow}[/tex] и [tex]Oa^{\rightarrow}[/tex] ),
то по тази теорема [tex]\frac{MN}{sin\alpha} =2R=OL[/tex] и следователно [tex]MN=OLsin\alpha[/tex].

Но [tex]M_2N_2[/tex] е средна отсечка в [tex]\Delta FQL[/tex], следователно въпросният периметър, който е равен на [tex]FQ[/tex],
е [tex]FQ=2OLsin\alpha[/tex].
_______________
За по-малките ученици решението сте привели Вие - точен чертеж с дадените елементи и измерване на отсечката [tex]FQ[/tex] с линийка

[Гост]

Благодаря Ви изключително много Knowledge Greedy! Решението, което съм дал е понятно, но не е мое дело, както и чертежът (monika_at). Но го застъпих, като начало на задачата, тъй като въз основа на това, както и вашето решение, ще се пише програма. Изключително много съм Ви благодарен. Няма да излъжа, ако кажа че дори и не очаквах някой да отдели от вниманието си. Още веднъж Ви благодаря. :)