В правоъгълния триъгълник АВС

[Гост]

В правоъгълния триъгълник АВС, ъглополовящата през върха А пресича страната ВС в точка D. Ако М е точката в която се пресичат медианите на триъгълника и DM[tex]\bot[/tex]BC ,то на колко е равен ъгъл ВАС
Помагайте ..

[Nathi123]

Нека М е медицентъра на триъг. АВС и ВМ пресича АС в точка N .Лицето на триъг. ВМС е една трета от лицето на триъг. АВС. Тогава MD= [tex]\frac{AC}{3}[/tex] От MD успоредно на АС и теорема на Талес CD = [tex]\frac{BC}{3}[/tex]. Изразяваме тангенса на търсения ъгъл и тангенса на половинката му от триъг.АВС и триъгACD и формулата за връзката между тези два тангенса се получава ,че търсеният ъгъл е 60[tex]^\circ[/tex].

[monika_at]

par.png (22.84 KiB) Прегледано 209 пъти

Ето едно решение без тригонометрия.
От свойството на ъглополовящата изразяваме [tex]CD=\frac{ab}{b+c}[/tex] чрез страните на [tex]\Delta ABC[/tex]
От свойството на медицентъра и подобието на [tex]\Delta ACN[/tex] и [tex]\Delta MDN[/tex] =>[tex]\frac{CD}{CN}=\frac{2}{3}[/tex]=>

[tex]3b=b+c=>c=2b=>\angle ABC=30^\circ =>\angle BAC=60^\circ[/tex]