Задачи с аритметична прогресия

[bounteous]

1.Редицата 2,3,6,11,а5,а6....аn... притежава свойството, че разликите между съседните и членове образуват аритметична прогресия. Да се намери аn . Отг. n^{2}-2n+3

2.Дадена е аритметична прогресия a1,a2,a3 ...an , за която числата a1,an и Sn (в посочения ред) също образуват аритметична прогресия и освен това удовлетворяват неравенството S^{2}n + 7a1^{2} < 4an^{2} ; a1=1 a) да се намери n б) да се напише прогресията . Отг. a) n=3 ; б) 1,3,5

[Nathi123]

За задача 1. Образуваме разликите [tex]a_{2 }[/tex] - [tex]a_{1 }[/tex] = 1 = [tex]b_{1 }[/tex]
[tex]a_{3 }[/tex] - [tex]a_{2 }[/tex] = 3 = [tex]b_{2 }[/tex]
................................................................
[tex]a_{n }[/tex] - [tex]a_{n-1 }[/tex] = [tex]b_{n-1 }[/tex]

Почленно събираме тези равенства ( [tex]b_{1 }[/tex], [tex]b_{2 }[/tex],...,[tex]b_{n-1 }[/tex] ,... са членовете на получената аритметична прогресия).
Получаваме [tex]a_{n-1 }[/tex] - [tex]a_{1 }[/tex] = [tex]b_{1 }[/tex] + [tex]b_{2 }[/tex] + ...+ [tex]b_{n-1 }[/tex] (1)
От формулата за сума на аритметична прогресия в дясната страна на равенство (1) се получава [tex]n^{2}[/tex] - 2n +1
Така [tex]a_{n }[/tex] - 2 = [tex]n^{2}[/tex] - 2n + 1 т.е. [tex]a_{n }[/tex] = [tex]n^{2}[/tex] - 2n +3 .

[Nathi123]

2.зад. По условие [tex]a_{1 }[/tex] = 1 ,тогава неравенството има вида [tex]S_{n }^{2}[/tex] + 7 < 4 [tex]a_{n }^{2}[/tex].
1,[tex]a_{n }[/tex] , [tex]S_{n }[/tex] образуват аритметична прогресия тогава и само тогава,когато 2[tex]a_{n }[/tex] = 1 + [tex]S_{n }[/tex] (1)
Повдигаме двете страни на (1) на квадрат и получаваме 4[tex]a_{n }^{2}[/tex] = 1 + 2[tex]S_{n }[/tex] + [tex]S_{n }^{2}[/tex]. Неравенството добива вида [tex]S_{n }[/tex]>3 . (2 ) От формулата за сума на аритм. прогресия [tex]S_{n }[/tex] = [tex]\frac{1+a_{n }}{2}[/tex].n . От това равенство изразяваме [tex]a_{n }[/tex] = [tex]\frac{2S_{n }-n}{n}[/tex] заместваме в (1) .С малко преобразувания получаваме [tex]S_{n }[/tex] = [tex]\frac{3n}{4-n}[/tex]. Така неравенство (2) добива вида [tex]\frac{3n}{4-n}[/tex] >3 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{n-2}{4-n}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] n[tex]\in[/tex] (2,4) и n e естествено число.
Следователно n = 3 . Нататък б) условие се получава лесно.