Разстоянието от центъра на вписаната в правоъгълен триъгълни

[Гост]

Разстоянието от центъра на вписаната в правоъгълен триъгълник окръжност до върховете на острите му ъгли е равно на [tex]\sqrt{5}[/tex] и [tex]\sqrt{10}[/tex]. Намерете дължината на хипотенузата на триъгълника.
Помощ ...

[Nathi123]

Нека означим с точка О центъра на вписаната окръжност.Тогава той е пресечната точка на ъглополовящите в триъг.АВС.
Следователно ъгълАОВ = 90[tex]^\circ[/tex] + 45[tex]^\circ[/tex]= 135[tex]^\circ[/tex]. За триъг.АОВ прилагаме косинусова теорема.
[tex]AB^{2}[/tex]=[tex]AO^{2}[/tex]+[tex]BO^{2}-2AO.BO.cos135^\circ[/tex].(АВ е хипотенузата на триъгълника).
[tex]AB^{2} = 5+10+2.\sqrt{5}.\sqrt{10}.\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Т.е. АВ = 5.

[Гост]

Нека означим с точка О центъра на вписаната окръжност.Тогава той е пресечната точка на ъглополовящите в триъг.АВС.
Следователно ъгълАОВ = 90[tex]^\circ[/tex] + 45[tex]^\circ[/tex]= 135[tex]^\circ[/tex]. За триъг.АОВ прилагаме косинусова теорема.
[tex]AB^{2}[/tex]=[tex]AO^{2}[/tex]+[tex]BO^{2}-2AO.BO.cos135^\circ[/tex].(АВ е хипотенузата на триъгълника).
[tex]AB^{2} = 5+10+2.\sqrt{5}.\sqrt{10}.\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Т.е. АВ = 5.

защо 90+45

[ptj]

[tex]\angle OAB =\frac{1}{2}\angle CAB[/tex]

[tex]\angle OBA =\frac{1}{2}\angle CBA[/tex]

[tex]\angle CAB+\angle CBA=90^\circ[/tex]

От горните 3 равенства [tex]\Rightarrow \angle OAB+\angle OBА=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ\Rightarrow \angle AOB=135^\circ[/tex]

П.П. Колкото до изразяването на [tex]\angle AOB=90^\circ+45^\circ=135^\circ[/tex]- вероятно е използвано, че [tex]\angle AOB[/tex] е външен за вдлъбнатия четириъгълник [tex]CAOB[/tex]. Тогава (по-малкия от [tex]180^\circ[/tex]) [tex]\angle AOB=\angle OAC+\angle ACB + \angle CBO[/tex].

[Nathi123]

Ако т. О е център на вписаната в триъгълник АВС окръжност и ъгър АСВ = [tex]\gamma[/tex] , то [tex]\angle AOB[/tex] = 90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\frac{\gamma}{2}[/tex] ( задача от 7-ми клас)

[ptj]

След като е задача, а не теорема, то нейното доказателство трябва да присъства в решението. С други думи, ако на изпит използвате недоказан факт, могат или да ви отнемат точки или изобщо да не ви признаят решението на задачата.

[skadevil]

А лицето на [tex]\triangle[/tex] АВС как би могло да се намери?

[S.B.]

А лицето на [tex]\triangle[/tex] АВС как би могло да се намери?

Без заглавие - 2020-07-24T221827.526.png (255.59 KiB) Прегледано 949 пъти

Първо ще трябва да се докаже наистина,че [tex]\angle AOB = 135^\circ[/tex]
$ОА$ и $OB$ са ъглополовящи:
За $\triangle ABC \rightarrow \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \Leftrightarrow \angle A + \angle B + 90^\circ = 180^\circ \Leftrightarrow \angle A + \angle B = 90^\circ \Rightarrow$
$\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 45^\circ$
За $\triangle AOB \rightarrow \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B + \angle AOB = 180^\circ\Leftrightarrow 45^\circ + \angle AOB = 180^\circ \Rightarrow \angle AOB = 135^\circ$
За $\triangle AOB$ се прилага Косинусова теорема и се получава $AB = 5$
$S_{\triangle AOB } = \frac{AO.BO}{2}.sin\angle AOB \Leftrightarrow S_{AOB } = \frac{\sqrt{5}\sqrt{10}}{2}.sin135^\circ = \frac{\sqrt{5}\sqrt{10}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow S_{AOB } = \frac{5}{2}$
$S_{AOB } = \frac{AB.r}{2} \Leftrightarrow \frac{5.r}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow r = 1$
$S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow S_{ABC } = (AB + r).r \Leftrightarrow S_{ABC } = (5 + 1).1 = 6$

_______________________________________________________________________________

До тук бях аз.И тъй като представената задача е само половината от една красива задача,за всички на които е интересно предоставям и останалата част от условието:
а) Да се определи $S_{A_{1 }B_{1 }C_{1 } } = ?$ ,където $A_{1 },B_{1 },C_{1 }$ са допирните точки на вписаната в $\triangle ABC$ окръжност към страните на триъгълника,както се вижда от чертежа.
б) През точка $O$ е построена права $p \bot OB$, като $p\cap AB = M ,p\cap BC = N$. Да се определи дължината на отсечката $MN$