Координатна система

[Гост]

Да се намери разстоянието от началото на координатна система до правата с уравнение у=(2m +1)x + 6, която минава през точката (4;3).
Малко помощ с този вид задачи?

[Nathi123]

Точката М(4,3) е от правата y = ( 2m + 1)x + 6 [tex]\Rightarrow[/tex] 3 = (2m +1 ).4 +6 , от където m = -[tex]\frac{7}{8}[/tex] . Заместваме в уравнението на правата и получаваме 3x + 4y - 6 =0 .Точката О(0,0) - начало на координатната система.Тогава разстоянието от О до правата е d = [tex]\frac{/3.0+4.0-6/}{\sqrt{(3^{2}+4^{2})}}[/tex]=[tex]\frac{6}{5}[/tex] .

[ptj]

Ако не знаеш директната формула за разстояние от точка до права, може да използваш тангенса на ъгъла, който правата сключва с абцисната ос.
След това минаваш към косинус и намираш точката в която правата пресича абцисната ос.
Остава ти да умножиш косинуса по модула на намерената абциса.

Т.е. [tex]3x+4y-6=0[/tex] пресича абцисата в точката [tex](2;0)[/tex], а [tex]tg\alpha=\frac{3}{4}\Rightarrow sin\alpha=\frac{3}{5}[/tex].

[tex]|2|.\frac{3}{5}=\frac{6}{5}[/tex]

Направи си чертеж и ще разбереш кое как се получава.

[Knowledge Greedy]

Повод за поста ми е техническа грешка на колегата Nathi123.

Освен това за хората, които още не са учили косинуси, тангенси и формула за разстояние от точка до права,
ще е полезно да видят и това (достъпно за осмокласници (не всички )).

Намерихме параметъра [tex]m[/tex] (виж решението на Nathi123).
Задачата изглежда вече така:
"Да се намери разстоянието от началото на координатна система до правата с уравнение [tex]у=-\frac{3}{4}x + 6[/tex].".
Трябва все пак да знаем нещо И то е уравнение на права, перпендикулярна на друга права - с дадено уравнение.
Уравнението на въпросната права е[tex]^{(*)}[/tex] [tex]у=\frac{4}{3}x +q[/tex]. Но тъй като тя минава през началото, [tex]q=0[/tex].
Сега пресичаме двете прави
- това значи, че решаваме системата уравнения
[tex]\begin{array}{|l} у=-\frac{3}{4}x + 6 \\у=\frac{4}{3}x \end{array}[/tex]
Тя ни дава [tex]x=\frac{84}{25}[/tex] и [tex]y=\frac{112}{25}[/tex]
Това са координатите на пресечната точка [tex]P[/tex] на двете прави.
Отсечката [tex]OP[/tex] е точно разстоянието от началото [tex]O[/tex] до дадената права с уравнение [tex]у=-\frac{3}{4}x + 6[/tex].
Сега можем да се възползваме от теоремата на Питагор.
[tex]OP^2=x^2_P+y^2_P[/tex]

[tex]OP^2=\left (\frac{84}{25} \right )^2+\left (\frac{112}{25} \right )^2[/tex]
Смятането на това нещо би ни притеснило, ако не знаехме да изнасяме общ множител - при това се съкращава едното 25 от знаменателя. Отговор [tex]OP = \frac{24}{5}[/tex].
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
За формулата на Nathi123 трябва да приведем уравнението на правата [tex]у=-\frac{3}{4}x + 6[/tex] в общ вид
[tex]3x+4y-24=0[/tex],
да си дадем сметка за коефициентите [tex]A=3, B=4, C=-24[/tex] и да заместим във формулата [tex]d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex] с координатите [tex]x_O[/tex] и [tex]y_O[/tex] (които в случая са нули).
____________________
[tex]^{(*)} Правите[/tex] [tex]у=\frac{4}{3}x[/tex] и [tex]у=-\frac{3}{4}x + 6[/tex] са перпендикулярни една на друга, защото техните ъглови коефициенти [tex]-\frac{3}{4}[/tex] и [tex]\frac{4}{3}[/tex], умножени дават (-1) - колкото трябва за перпендикулярност
Това може да се обясни на всеки любознателен осмокласник, учил за еднакви триъгълници.