Граница на функция

[Гост]

Lim x-> [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] [(x- [tex]\frac{\pi}{4}[/tex]) tg2x]

[ptj]

[tex]\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} (x- \frac{\pi}{4}) tg2x=\lim_{x\to \frac{\pi}{4}} \frac{x- \frac{\pi}{4}}{cotg2x}=\bigg[\frac{0}{0} \bigg][/tex]

Приложи Теорема на Лопитал, т.е. дадената граница е равна на границата на частното от производните на числителя и знаменателя.

[Добромир Глухаров]

В 11 клас учи ли се Теорема на Лопитал? Ако не, ето едно "по-обикновено" решение:

[tex]x=\frac{\pi}{4}+y;\ y\to 0[/tex]

[tex]\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)tg(2x)=\lim_{y\to 0}\left(\frac{\pi}{4}+y-\frac{\pi}{4}\right)tg\left(\frac{\pi}{2}+2y\right)=\\=\lim_{y\to 0}y.(-cotg(2y))=-\lim_{y\to 0}y.\frac{cos(2y)}{sin(2y)}=\\=-\frac{1}{2}\lim_{y\to 0}\frac{(2y).cos(2y)}{sin(2y)}=-\frac{1}{2}\lim_{y\to 0}\frac{cos(2y)}{\frac{sin(2y)}{2y}}=\\=-\frac{1}{2}\frac{cos0}{\lim_{y\to 0}\frac{sin(2y)}{2y}}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}=-\frac{1}{2}[/tex]