Доказателство

[Гост]

Да се докаже, че ако върхът C, средите на CA и CB и медицентърът на триъгълник ABC лежат на една окръжност, то а^{2}+b^{2}=2c^{2}.

[monika_at]

med_okr.png (20.6 KiB) Прегледано 364 пъти

Ще ползваме стандартните означения за триъгълник. От свойството на секущите=>

[tex]BN.BC=BG.BM=>\frac{a^2}{2}=\frac{2}{3}m_b^2[/tex]; [tex]AM.AC=AG.AN=>\frac{b^2}{2}=\frac{2}{3}m_a^2[/tex].

Събираме почленно двете равенства=>[tex]\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{2}{3}(m_b^2+m_a^2)[/tex]. Прилагаме за медианите формулите за техните дължини.=>
[tex]\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{2}{3}(\frac{2a^2+2c^2-b^2+2b^2+2c^2-a^2}{4})[/tex] Опростяваме и получаваме исканото равенство

[tex]a^2+b^2=2c^2[/tex]