Получено тяло

[Гост]

Равностранен триъгълник със страна а се върти около външна ос, която е успоредна на страната и е отдалечена от нея на разстояние, равно на височината на триъгълника. Намерете обема и повърхнината на полученото тяло.
Малко помощ, ако може и чертеж

[amsara]

Чертеж не мога в момента да направя, но ще ти дам насока. С m ще означим оста, около която ще завъртим равностранния триъгълник.[tex]m||AC[/tex]
Завъртайки се около оста, А и С ще опишат окръжности с радиус, равен на височината на равностранния триъгълник. Върхът В ще опише окръжност с двойно по-голям радиус от горния. Тялото, което ще получим, е съставено от два еднакви пресечени конуса. Остава да намерим околната повърхнина и обема на един от тях. Умножавайки полученото по 2, ще намерим повърхнината и обема ня тялото.
Разстоянието между двете малки основи на въпросното тяло е [tex]CA=a => h_{konusa}=\frac{a}{2}[/tex]
[tex]l_{konusa}=a[/tex]
Трябва ни височината на равностранния, за да определим радиусите на малката и голямата окръжност.
[tex]CH \bot AB; CH=h => h^2 + (\frac{a}{2})^2=a^2 <=> h^2=\frac{3a^2}{4} <=> h=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]=>r=2h=a\sqrt{3}; r_{1}=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]S=\pi (r+r_{1})l=\pi.(a\sqrt{3}+\frac{a\sqrt{3}}{2}).a = \frac{3.\pi.a^2\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]S_{t}=2.\frac{3.\pi.a^2\sqrt{3}}{2}=3.\pi.a^2\sqrt{3}[/tex]
Остава да заместиш и във [tex]V=\frac{\pi.h_{konusa}.(r_{1}^2+r^2+r.r_{1})}{3}[/tex], след което отново да умножиш по 2.

[mail_dinko]

Височина, медиана, ъглополовяща и симетрала в равностранем теиъгълник съвпадат. Оста на въртене минава през връх на триъгълника (и както пише в условието е успоредна на страната). На втория чертеж търсим обема на защрихованото. За удобство първо намираме обема на цилиндъра и изваждаме обема на два конуса (незащриховани). Тялото е нещо като папийонка, звъртяна около оста си (като пумпал). Или ако през стеснението на пясъчен часовник прободем с клечка за зъби и завъртим мислено около нея.
Предполагам, че имам някоя изчислителна грешка.

[ptj]

Обясненията на Сара са коректни, защото в условието е казано "външна ос".