Модулни уравнения

[Гост]

3[tex]\sqrt{x+4}[/tex]=5-2|x+2|
Как се решават този тип уравнения?

[Гост]

Дефиниционно множество: [tex]x\ge -4[/tex]
с допълнително необходимо условие за съществуване на реални корени [tex]2\left |x+2 \right |\le 5[/tex]

Разглеждаме случаи.
1.) [tex]x\ge -2 \,\ \Rightarrow \,\ x+2\ge 0 \,\ \Rightarrow \,\ \left | x+2 \right |= x+2[/tex]
Уравнението става [tex]3\sqrt{x+4}=5-2( x+2)[/tex]

[tex]3\sqrt{x+4}=1-2 x \,\ (\ast)[/tex]
Появява се ново необходимо условие за съществуване на реални корени [tex]1-2 x\ge 0 \,\ \Leftrightarrow \,\ x\le \frac{1}{2}[/tex]
Следователно търсим корени само в интервала [tex]\left [-4; \frac{1}{2} \right ][/tex]
Повдигаме на втора степен - освобождаваме се от квадратния радикал
[tex]3\left (\sqrt{x+4} \right )^2=\left (1-2 x \right )^2[/tex]

[tex]9(x+4)=1-4x+4x^2[/tex]
Само единият от корените на квадратното уравнение [tex]4x^2-13x-35=0[/tex] е в интервала [tex]\left [-4; \frac{1}{2} \right ][/tex].
Дотук [tex]x=-\frac{7}{4}[/tex]

2.) [tex]x< -2 \,\ \Rightarrow \,\ x+2<0 \,\ \Rightarrow \,\ \left | x+2 \right |=- x-2[/tex]
Уравнението става [tex]3\sqrt{x+4}=5+2( x+2)[/tex]

[tex]3\sqrt{x+4}=9+2 x \,\ (\ast \ast)[/tex]
Появява се ново необходимо условие за съществуване на реални корени [tex]9+2 x\ge 0 \,\ \Leftrightarrow \,\ x\ge - \frac{9}{2}[/tex], но то не влияе на първоначалното условие [tex]x\ge -4[/tex]
Повдигаме на втора степен - освобождаваме се от квадратния радикал
[tex]3\left (\sqrt{x+4} \right )^2=\left (9+2 x \right )^2[/tex]

[tex]9(x+4)=81+36x+4x^2[/tex]

Уравнението става [tex]4x^2+27x+45=0[/tex] и тъй като [tex]D=9[/tex], то има реални корени [tex]x_2=-\frac{15}{4}[/tex] и [tex]x_3=-3[/tex] в дефиниционния интервал [tex]\left [-4; +\infty \right )[/tex].
Отг.
[tex]x_1=-\frac{7}{4}, \,\ x_2=-\frac{15}{4}[/tex] и [tex]x_3=-3[/tex].

[Knowledge Greedy]

Във втория случай дефиниционното множество е [tex][-4;\,\ -2)[/tex]