В конус е вписан цилиндър

[Гост]

В конус е вписан цилиндър, височината на който е равна на радиуса на основата на конуса, а лицето на пълната му повърхнина се отнася към лицето на основата на конуса, както 2:3. Намерете ъгъла, заключен между оста и образувателната на конуса
Като отговор ми е дадено tg=1/2

[Anubis]

Забележка. Трябва да бъде [tex]\frac{S_{\operatorname{cyl}}}{S_{\operatorname{base}}}=\frac{3}{2}[/tex].

[tex]\Delta ABC[/tex] е осевото сечение на конуса, а правоъгълникът - на цилиндъра. Нека [tex]O[/tex] и [tex]O_{1}[/tex] са центровете на основите на цилиндъра.

Означаваме [tex]AO=BO=OO_{1}=h, \, MO_{1}=NO_{1}=r, \, CO_{1}=x, \, \angle ACO=\alpha[/tex]. От условието имаме

[tex]\frac{S_{\operatorname{cyl}}}{S_{\operatorname{base}}} = \frac{2 \pi r(r+h)}{\pi h^2} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3h^2=4r(r+h) \Rightarrow 4r^2+4rh-3h^2=0 \Rightarrow 4 \left ( \frac{r}{h} \right )^2 + 4 \left ( \frac{r}{h} \right ) - 3 = 0 \Rightarrow \frac{r}{h}=\frac{1}{2}[/tex].

От [tex]\Delta AOC \sim \Delta MO_{1}C[/tex] получаваме [tex]\frac{AO}{MO_{1}}=\frac{OC}{O_{1}C}=\frac{AC}{MC} \Rightarrow \frac{h}{r}=\frac{x+h}{x} \Rightarrow x = \frac{rh}{h-r}[/tex].

Сега [tex]\tan \alpha = \frac{MO_{1}}{CO_{1}}=\frac{r}{x}=\frac{r(h-r)}{rh}=\frac{h-r}{h}=1-\frac{r}{h}=\frac{1}{2}[/tex].

[Гост]

Забележка. Трябва да бъде [tex]\frac{S_{\operatorname{cyl}}}{S_{\operatorname{base}}}=\frac{3}{2}[/tex].

[tex]\Delta ABC[/tex] е осевото сечение на конуса, а правоъгълникът - на цилиндъра. Нека [tex]O[/tex] и [tex]O_{1}[/tex] са центровете на основите на цилиндъра.

Означаваме [tex]AO=BO=OO_{1}=h, \, MO_{1}=NO_{1}=r, \, CO_{1}=x, \, \angle ACO=\alpha[/tex]. От условието имаме

[tex]\frac{S_{\operatorname{cyl}}}{S_{\operatorname{base}}} = \frac{2 \pi r(r+h)}{\pi h^2} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3h^2=4r(r+h) \Rightarrow 4r^2+4rh-3h^2=0 \Rightarrow 4 \left ( \frac{r}{h} \right )^2 + 4 \left ( \frac{r}{h} \right ) - 3 = 0 \Rightarrow \frac{r}{h}=\frac{1}{2}[/tex].

От [tex]\Delta AOC \sim \Delta MO_{1}C[/tex] получаваме [tex]\frac{AO}{MO_{1}}=\frac{OC}{O_{1}C}=\frac{AC}{MC} \Rightarrow \frac{h}{r}=\frac{x+h}{x} \Rightarrow x = \frac{rh}{h-r}[/tex].

Сега [tex]\tan \alpha = \frac{MO_{1}}{CO_{1}}=\frac{r}{x}=\frac{r(h-r)}{rh}=\frac{h-r}{h}=1-\frac{r}{h}=\frac{1}{2}[/tex].

Благодаря, но по кой признак са подобни триъгълниците

[Anubis]

Триъгълниците са подобни по теоремата на Талес.