Тригонометрични уравнения

[Гост]

Как се решават уравнения от вида:
cos3x + sin3x = [tex]\sqrt{2}[/tex]
[tex]\frac{7п}{4}[/tex] < x< [tex]\frac{9п}{4}[/tex]

Ясно чрез спомагател ъгъл, но не ми е ясно с интервала какво се прави ..

[Гост]

Нищо не ти е ясно.

[Гост]

Затова търся помощ

[KOPMOPAH]

Аз бих повдигнал на втора степен двете страни на равенството:
[tex](cos3x+sin3x)^{2}=2[/tex]
[tex]cos^{2}3x+2sin3xcos3x+sin^{2}3x=2[/tex]
[tex]1+2sin3xcos3x=2[/tex]
[tex]2sin3xcos3x=1[/tex]
[tex]sin6x=1[/tex], оттук следва [tex]6x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]
и като вземеш предвид, че [tex]x \in (\frac{7\pi}{4},\frac{9\pi}{4})[/tex], лесно можеш да получиш отговора.

[Knowledge Greedy]

Аз бих повдигнал на втора степен двете страни на равенството:
... .

Оттук веднага възникват съмнения за това, дали случайно не сме решили уравнението
[tex]cos3x + sin3x =-\sqrt{2}[/tex]
Значи, ако не направим проверка по някакъв начин, рискуваме да си навлечем "паразитни" корени.
___________
Гостът, предложил задачата, е наясно с въвеждането на допълнителен ъгъл.
Да умножим двете страни с [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], уравнението добива вида
[tex]cos3x.cos\frac{\pi}{4} + sin3x.sin \frac{\pi}{4} =1[/tex]
[tex]cos\left ( 3x-\frac{\pi}{4} \right ) =1[/tex]
[tex]3x-\frac{\pi}{4} =2k\pi[/tex]
[tex]x=(8k+1)\frac{\pi}{12}[/tex]
Поставяме тези числа (множественото число е заради[tex]\forall k\in \mathbb{Z}[/tex]) в дефиниционния интервал на условието [tex]\frac{7\pi}{4}<(8k+1)\frac{\pi}{12}< \frac{9\pi}{4}[/tex]

и след [tex]21<8k+1<27 \,\ \Rightarrow \,\ k=3[/tex],
получаваме единствения корен на това уравнение [tex]x=\frac{25\pi}{12}[/tex] в искания интервал.

[Гост]

Аз бих повдигнал на втора степен двете страни на равенството:
... .

Оттук веднага възникват съмнения за това, дали случайно не сме решили уравнението
[tex]cos3x + sin3x =-\sqrt{2}[/tex]
Значи, ако не направим проверка по някакъв начин, рискуваме да си навлечем "паразитни" корени.
___________
Гостът, предложил задачата, е наясно с въвеждането на допълнителен ъгъл.
Да умножим двете страни с [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], уравнението добива вида
[tex]cos3x.cos\frac{\pi}{4} + sin3x.sin \frac{\pi}{4} =1[/tex]
[tex]cos\left ( 3x-\frac{\pi}{4} \right ) =1[/tex]
[tex]3x-\frac{\pi}{4} =2k\pi[/tex]
[tex]x=(8k+1)\frac{\pi}{12}[/tex]
Поставяме тези числа (множественото число е заради[tex]\forall k\in \mathbb{Z}[/tex]) в дефиниционния интервал на условието [tex]\frac{7\pi}{4}<(8k+1)\frac{\pi}{12}< \frac{9\pi}{4}[/tex]

и след [tex]21<8k+1<27 \,\ \Rightarrow \,\ k=3[/tex],
получаваме единствения корен на това уравнение [tex]x=\frac{25\pi}{12}[/tex] в искания интервал.

Защо к=3?

[Гост]

[tex]21<8k+1<27[/tex]

[tex]20<8k<26[/tex]

[tex]\frac{20}{8}<k<\frac{26}{8}[/tex]

[tex]2\frac{2}{8}<k<3\frac{2}{8}[/tex]
ама [tex]k[/tex] e цяло!