Афинна координатна система

[Гост]

Дадена е афинна координатна система , |e1|=4, |e2|=1,[tex]\angle[/tex](e1,e2)=60[tex]^\circ[/tex](e1 и е2 са вектори).
Ако A(2,2), B(-1;0),C(3;1), то да се намерят координатите на центъра на вписаната в триъгълник ABC окръжност.

[Knowledge Greedy]

Нека точка [tex]I[/tex] е центърът на вписаната окръжност в [tex]\Delta ABC[/tex]
В сила е равенството
[tex]\vec {CI}=\frac{a}{a+b+c}\vec {CA}+\frac{b}{a+b+c}\vec {CB}[/tex] - при стандартни други означения.
Може да ползваме и тъждеството
[tex]\vec{OI}=\frac{a}{a+b+c}\vec {OA}+\frac{b}{a+b+c}\vec {OB}+\frac{c}{a+b+c}\vec {OC} \,\ (\ast)[/tex]
- при стандартни други означения, от което да получим директно координатите на [tex]I[/tex].

[tex]A(2,2) \,\ \Leftrightarrow \,\ \vec {OA}=2\vec{e_1}+2\vec{e_2}[/tex]
[tex]B(-1,0) \,\ \Leftrightarrow \,\ \vec {OB}=-\vec{e_1}[/tex]
[tex]C(3,1) \,\ \Leftrightarrow \,\ \vec {OC}=3\vec{e_1}+\vec{e_2}[/tex]

Оттук последователно - като извадим почленно по двойки горните три равенства
[tex]\vec {BA}=3\vec{e_1}+2\vec{e_2}[/tex]
[tex]\vec {BC}=4\vec{e_1}+\vec{e_2}[/tex]
[tex]\vec {AC}=\vec{e_1}-\vec{e_2}[/tex]

За дължините са достатъчни условията [tex]|\vec{e_1}|=4[/tex], [tex]|\vec{e_2}|=1[/tex] и [tex]\vec{e_1}.\vec{e_2}=1.4.cos60^\circ=2[/tex]

[tex]c^2=BA^2=9\vec{e_1}^2+4\vec{e_2}^2+12\vec{e_1}.\vec{e_2}=36+4+24=64 \,\ \Rightarrow \,\ c=8[/tex]
[tex]a^2=BC^2=16\vec{e_1}^2+\vec{e_2}^2+8\vec{e_1}.\vec{e_2}=256+1+16 \,\ \Rightarrow \,\ a=\sqrt{273}[/tex]
[tex]b^2=AC^2=\vec{e_1}^2+\vec{e_2}^2-2\vec{e_1}.\vec{e_2}=16+1-4 \,\ \Rightarrow \,\ b=\sqrt{13}[/tex]

Тези три числа - дължините на страните на [tex]\Delta ABC[/tex], заместваме в получената от [tex](\ast)[/tex] формула
[tex]\vec{OI}=\frac{2a-b+3c}{a+b+c}\vec{e_1}+\frac{2a+c}{a+b+c}\vec{e_2} \,\ (\ast \ast)[/tex]

Отговор [tex]I \left ( \frac{2a-b+3c}{a+b+c}; \frac{2a+c}{a+b+c} \right )[/tex]