Да се докажат тъждествата

[Гост]

sin²[tex]\alpha[/tex] - sin²[tex]\beta[/tex] = cos²[tex]\beta[/tex] - cos²[tex]\alpha[/tex] = sin([tex]\alpha[/tex]-[tex]\beta[/tex])*sin[tex]\gamma[/tex]

[tex]tg\alpha/2 + tg\beta/2 - cotg\gamma/2 = -tg\alpha/2 * tg\beta/2 * cotg\gamma/2[/tex]

[tex]cos\alpha * cos2\alpha * cos4\alpha * ... * cos2^{n}\alpha = \frac{sin2^{n+1}\alpha}{2^{n+1} * sin\alpha}[/tex]

[tex]sin^{3}\alpha + sin^{3}\beta + sin^{3}\gamma = 3*cos\frac{\alpha}{2}*cos\frac{\beta}{2}*cos\frac{\gamma}{2} + cos\frac{3\alpha}{2}+ cos\frac{3\beta}{2} + cos\frac{3\gamma}{2}[/tex]

[Гост]

Тези за триъгълник ли са, за какви ъгли са?

[Гост]

За триъгълник са, да. Стандартни означения [tex]\alpha \beta \gamma[/tex]

[KOPMOPAH]

Започваме с третото, което е валидно за [tex]\forall \alpha[/tex]
[tex]cos\alpha .cos2\alpha .cos4\alpha ... cos2^{n}\alpha = \frac{sin2^{n+1}\alpha}{2^{n+1} .sin\alpha}[/tex]
[tex]2^{n}.2.sin\alpha .cos\alpha .cos2\alpha .cos4\alpha ... cos2^{n}\alpha = sin2^{n+1}[/tex]
[tex]2^{n-1}.2.sin2\alpha .cos2\alpha .cos4\alpha ... cos2^{n}\alpha = sin2^{n+1}[/tex]
[tex]2^{n-2}.2.sin4\alpha .cos4\alpha ... cos2^{n}\alpha = sin2^{n+1}[/tex]
[tex]...[/tex] и така до
[tex]2.sin2^{n}\alpha .cos2^{n}\alpha = sin2^{n+1}[/tex]

[KOPMOPAH]

Първото тъждество:
[tex]sin^{2}\alpha - sin^{2}\beta = (sin\alpha + sin\beta)(sin\alpha - sin\beta)=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}.2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}.2sin\frac{\alpha-\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}=sin(\alpha+\beta)sin(\alpha-\beta)[/tex], но [tex]\alpha+\beta+\gamma=\pi \Rightarrow sin(\alpha+\beta) = sin(\pi - \gamma)=sin\gamma[/tex], като заместим [tex]sin(\alpha+\beta)[/tex] със [tex]sin\gamma[/tex] тъждеството е доказано.

По подобен начин се доказва и втората част на тъждеството
[tex]cos^{2}\beta - cos^{2}\alpha=(cos\beta + cos\alpha)(cos\beta-cos\alpha)=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}.2sin\frac{\alpha-\beta}{2}sin\frac{\alpha+\beta}{2}=...=sin(\alpha+\beta)sin(\alpha-\beta)[/tex] и нататък е ясно от по-горе.

[Knowledge Greedy]

Първата част (първото равенство) на
[tex]sin²α - sin²β = cos²β - cos²α = sin(α-β)sinγ[/tex]
е тривиално - то следва непосредствено от основното тригонометрично тъждество [tex]sin²α + cos²α=1[/tex]

Затова интерес представлява едно от останалите две равенства, например
[tex]sin²α - sin²β = sin(α-β)sinγ[/tex]
Щом става въпрос за ъгли на триъгълник, дясната страна [tex]R=sin(α-β)sinγ=sin(α-β)sin(α+β)=(sinαcosβ+cos\alpha sin\beta)(sinαcosβ-cos\alpha sin \beta)=sin^2αcos^2β-cos^2\alpha sin^2\beta[/tex]

[tex]R=sin^2αcos^2β-cos^2\alpha sin^2\beta[/tex]

[tex]R=sin^2α(1-sin^2β)-(1-sin^2\alpha)sin^2\beta[/tex] и като се разкрият скобите, се получава точно лявата страна
[tex]L=sin²α - sin²β[/tex]