Куб

[Гост]

ABCDA1B1C1D1 е куб. Намерете [tex]\angle[/tex](BD;AC1).

[Knowledge Greedy]

Въвеждаме правоъгълна координатна система с начало [tex]A(0,0,0)[/tex]
[tex]B(1,0,0)[/tex]
[tex]C(1,1,0)[/tex]
[tex]D(0,1,0)[/tex]

[tex]A_1(0,0,1)[/tex]
[tex]B_1(1,0,1)[/tex]
[tex]C_1(1,1,1)[/tex]
[tex]D_1(0,1,1)[/tex]
От втория и четвъртия ред следва
[tex]\vec{BD}(-1,1,0)[/tex]

От първия и седмия ред следва
[tex]\vec{AC_1}(1,1,1)[/tex]

Скаларното произведение [tex]\vec{BD}\vec{AC_1}=(-1).1+1.1+0.1=0[/tex]
Това означава, че [tex]\vec{BD}\bot\vec{AC_1}[/tex]
или [tex]∠(BD;AC_1)=\frac{\pi}{2}[/tex] (или [tex]90^\circ[/tex]).
______________
С ортогонално проектиране и ТТП (теорема за трите перпендикуляра).
Проекцията на [tex]AC_1[/tex] в равнината на основата [tex](ABC)[/tex] е правата [tex]AC[/tex], съдържаща диагонала [tex]AC[/tex] на квадрата [tex]ABCD[/tex].
Знаем, че [tex]AC\bot BD[/tex], следователно [tex]AC_1\bot BD[/tex] - съгласно ТТП, к.т.д.