Тетраедър

[Гост]

ABCD е тетраедър. Да се намери разстоянието d(A;(BCD).

[KOPMOPAH]

Задачата е доста неопределена. Разстоянието ще си остане $d$, докато не въведеш още данни за тетраедъра. Ако тетраедърът е правилен (т.е. всичките му четири ръба са равни), то тогава задачата има лесно решение.

[Гост]

Правилен е тетраедър

[Knowledge Greedy]

Ако ръбът на тетраедъра е [tex]a[/tex], то очевидно лицето на основата е [tex]S_{\Delta BCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}[/tex]. Проектираме върха [tex]A[/tex] на тетраедъра ортогонално в центъра [tex]O[/tex] на основата [tex]\Delta BCD.[/tex] Проекцията на ръба [tex]BA[/tex] е дълга [tex]BO=\frac{a\sqrt{3}}{3}[/tex], - понеже центърът [tex]O[/tex] играе ролята и на медицентър на основата, а медианата е [tex]BB_1=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex] .
Следователно [tex]h=AO=\frac{a\sqrt{6}}{3}[/tex] - от триъгълника [tex]\Delta BAO[/tex].
Остава да приложим формулата за обем на пирамида [tex]V=\frac{1}{3}Sh.[/tex]

Tetraeder s volume.png (5.8 KiB) Прегледано 3271 пъти

Отговор: [tex]V_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}[/tex]