Да се докаже

[Гост]

tg²10[tex]^\circ[/tex]+tg²50[tex]^\circ[/tex]+tg²70[tex]^\circ[/tex]=9

[Гост]

[tex]tg^210^o+tg^2(60^o-10^o)+tg^2(60^o+10^o)=?[/tex]

[Knowledge Greedy]

Ще използваме косинуси вместо тангенси.
От тъждеството [tex]tg^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha}-1[/tex] е ясно, че е достатъчно да докажем, че
[tex]\frac{1}{cos^210^\circ}+\frac{1}{cos^250^\circ}+\frac{1}{cos^270^\circ}=12[/tex]

Ще докажем, че числата [tex]t_1=-cos10^\circ, t_2=cos50^\circ[/tex] и [tex]t_3=cos70^\circ[/tex]
са корени на полинома [tex]P(t)=t^3-\frac{3}{4}t+\frac{\sqrt{3}}{8}[/tex]
Това ще направим с формулите на Виет [tex]\begin{array}{|l} t_1+t_2+t_3=0 \\ t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1=-\frac{3}{4} \\ t_1t_2t_3= \frac{\sqrt{3}}{8} \end{array}[/tex]

След това с елементарните симетрични функции на корените - от формулите на Виет, ще изразим сумата [tex]S=\frac{1}{cos^210^\circ}+\frac{1}{cos^250^\circ}+\frac{1}{cos^270^\circ}[/tex]
Тя е
[tex]S=\frac{1}{t^2_1}+\frac{1}{t^2_2}+\frac{1}{t^2_3}[/tex]

[tex]S=\frac{{t^2_1}{t^2_2}+{t^2_2}{t^2_3}+{t^2_3}{t^2_1}}{{t^2_1}{t^2_2}{t^2_3}}[/tex]

[tex]S=\frac{\left (t_1t_2 \,\ + t_2t_3 \,\ + t_3t_1 \right )^2 - \,\ 2 \,\ t_1 \,\ t_2 \,\ t_3 (t_1 + \,\ t_2 + \,\ t_3 ) }{\left (t_1 \,\ t_2 \,\ t_3 \right )^2} \,\ (\ast)[/tex]
Реализация.

Първо: сумата на числата [tex]t_1+t_2+t_3=0[/tex]
[tex]-cos10^\circ+cos50^\circ+cos70^\circ=-\cancel {2} \cancel{sin30^\circ} sin40^\circ+cos50^\circ=-sin40^\circ+sin40^\circ=0[/tex]

Второ: сумата от произведението на числата по двойки [tex]t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1=-\frac{3}{4}[/tex]
[tex]-cos10^\circ .cos50^\circ+cos70^\circ (-cos10^\circ)+cos50^\circ.cos70^\circ=-\frac{1}{2}(cos60^\circ+cos40^\circ)-\frac{1}{2}(cos80^\circ+cos60^\circ)+\frac{1}{2}(cos120^\circ+cos20^\circ)=-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\left ( cos20^\circ-cos40^\circ-cos80^\circ \right )[/tex]
Дотук [tex]t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1=-\frac{3}{4}+\frac{1}{2} cos20^\circ-\frac{1}{2}\left ( cos40^\circ+cos80^\circ \right ) \,\ \Rightarrow[/tex]
[tex]t_1t_2+t_2t_3+t_3t_1=-\frac{3}{4}+\frac{1}{2} cos20^\circ-\frac{1}{2}\left ( \cancel {2} \cancel {cos60^\circ} cos20^\circ \right )=-\frac{3}{4}[/tex]

Трето: произведението на трите числа [tex]t_1t_2t_3=\frac{\sqrt{3}}{8}[/tex]
[tex]-cos10^\circ cos50^\circ cos70^\circ=-\frac{1}{2}\left [cos(10^\circ+70^\circ)+cos(10^\circ-70^\circ) \right ]cos(50^\circ)[/tex]
Заменяме [tex]cos50^\circ=sin40^\circ[/tex]
[tex]-cos10^\circ cos50^\circ cos70^\circ=-\frac{1}{2}sin40^\circ cos80^\circ-\frac{1}{2}sin40^\circ cos60^\circ[/tex]
Преобразуваме първото от двете събираеми в сбор, а във второто [tex]cos60^\circ=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]-cos10^\circ cos50^\circ cos70^\circ=-\frac{1}{4}(-sin40^\circ +sin120^\circ) -\frac{1}{4}sin40^\circ[/tex], от което следва т., к.т.д.

Да се върнем на [tex](\ast)[/tex]
Получаваме [tex]S= \frac{ \left (- \frac{3}{4} \right )^2 - 2. \frac{ \sqrt{3}}{8} . \,\ 0 }{ \left ( \frac { \sqrt{3}}{8} \right )^2}[/tex][tex]=\frac{9}{16}:\frac{3}{64}=12[/tex],
което отговаря на [tex]tg^210^\circ + tg^250^\circ + tg^270^\circ = 12[/tex]
___________
И един допълнителен въпрос. Кое е най-трудното в това решение

[Гост]

Ще използваме косинуси вместо тангенси...
... Което отговаря на [tex]tg^210^\circ + tg^250^\circ + tg^270^\circ = 12[/tex]
___________
И един допълнителен въпрос. Кое е най-трудното в това решение

Една поправка (с-р mistake ): Което отговаря на [tex]tg^210^\circ + tg^250^\circ + tg^270^\circ = 9[/tex]