Ъгъл между 2 диагонала на куб

[Гост]

ABCDA1B1C1D1 е куб с ръб а. Да се намери [tex]\angle[/tex](AD1;OC1), AC\capBD в т. О.

[ptj]

Най-лесния стандартен начин е със скаларно произведение на вектори:
1.) Въвеждаме 3 базови вектора [tex]\vec{AB}=\vec x, \vec {AD}=\vec y, \vec {AA_1}=\vec z[/tex]. Всеки два от тях са взаимно перпендикулярни, a понеже дължините на 3-те са еднакви, то без загуба на общност може да считаме тази дължина за 1.

2.) Изразяваме чрез базите: [tex]\vec {AD_1}=\vec z+\vec y[/tex], [tex]\vec{OC_1}=\vec{OC}+\vec{CC_1}=\frac{1}{2}\vec{AC}+\vec{CC_1}=\frac{1}{2}\bigg(\vec x+\vec y \bigg)+\vec z[/tex]

3.)[tex]\vec {AD_1}.\vec {OC_1}=\bigg(\vec z+\vec y \bigg)\bigg(\frac{\vec x}{2}+\frac{\vec y}{2}+ \vec z \bigg)=\frac{\vec z. \vec x}{2}+ \frac{\vec y. \vec x}{2}+\frac{\vec z. \vec y}{2}+\frac{\vec y. \vec y}{2}+\vec z. \vec z+ \vec y. \vec z=0+0+0+\frac{1}{2}+1+0=\frac{3}{2}[/tex]

4.) [tex]|\vec{AD_1}|^2=\vec {AD_1}.\vec {AD_1}=\bigg(\vec z+\vec y \bigg).\bigg(\vec z+\vec y \bigg)=\vec z.\vec z+\vec z. \vec y+\vec y.\vec z+\vec y. \vec y=1+0+0+1=2[/tex], т.е. [tex]|\vec{AD_1}|=\sqrt{2}[/tex]

5.) [tex]|\vec{OC_1}|^2=\vec {OC_1}.\vec {OC_1}=\bigg(\frac{\vec x}{2}+\frac{\vec y}{2}+ \vec z \bigg).\bigg(\frac{\vec x}{2}+\frac{\vec y}{2}+ \vec z \bigg)=[/tex]
[tex]=\frac{\vec x. \vec x }{4}+\frac{\vec x. \vec y }{4}+\frac{\vec x. \vec z }{2}+\frac{\vec y. \vec x }{4}+\frac{\vec y. \vec y }{4}+\frac{\vec z. \vec y }{2}+\frac{\vec z. \vec x }{2}+\frac{\vec z. \vec y }{2}+\vec z . \vec z=\frac{1}{4}+0+0+0+\frac{1}{4}+0+0+0+1=\frac{3}{2}[/tex],
т.е. [tex]|\vec{OC_1}|=\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex]

6.) [tex]\vec {AD_1}.\vec {OC_1}=|\vec {AD_1}|.|\vec {OC_1}|.cos(\angle(\vec {AD_1};\vec {OC_1})) \Rightarrow cos(\angle(\vec {AD_1};\vec {OC_1}))=
\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], т.е. ъгъла е [tex]30^\circ[/tex]

П.П. Хубавото на този метод е универсалността. Достатъчно е да знаем само дължината на всеки базов вектор и скаларното произведение на всеки две двойки от тях (базовите вектори). Ъглите между базите могат да са произволни (не кратни на [tex]180^\circ)[/tex].

[Knowledge Greedy]

В случая обаче, [tex]AD_1||BC_1[/tex]
Така [tex]O, B[/tex] и [tex]C_1[/tex] са върхове на триъгълник и може да си спестим векторите
Страните му са [tex]a\sqrt{2}[/tex], [tex]\frac{a\sqrt{2}}{2}[/tex] и [tex]\frac{a\sqrt{6}}{2}[/tex].
Той е правоъгълен, но не търсим правия [tex]\angle BOC1[/tex], а острия [tex]\angle BC_1O[/tex], чиито синус - от определението, е [tex]\frac{1}{2}[/tex] - значи ъгълът е [tex]30^\circ[/tex].
______________
Завършекът на решението може да е още по-лесен, ако забележим, че [tex]\Delta BOC_1[/tex] е половина от равностранния [tex]\Delta BDC_1[/tex] - страните му са диагонали на стените на куба.
______________
Най-важното на този етап е да знаем как се дефинира ъгъл между кръстосани прави [tex]OC_1[/tex] и [tex]AD_1[/tex] - в случая.
[tex]\angle (AD_1;OC_1)=\angle (BC_1;OC_1) = \angle BC_1O[/tex] - благодарение на [tex]AD_1||BC_1[/tex].