Приложение на тригонометрията в планиметрията

[iva_326]

Даден е правоъгълен триъгълник.
[tex]\angle[/tex] [tex]\gamma[/tex] = 90 ^[tex]\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex] [tex]\alpha[/tex] = 15 ^[tex]\circ[/tex]
a - b = m
Търси се: c = ?

[pal702004]

$c^2=a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$

$a=c\cdot \cos(15^o),\;b=c\cdot \sin(15^o),\;2ab=?$

[Nathi123]

[tex]\alpha =15^\circ\Rightarrow \beta =75^\circ \Rightarrow a < b \Rightarrow a - b <0 \Rightarrow m<0[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a-b=m \\ \frac{a}{b} = tg15^\circ \end{array} \Leftrightarrow b = \frac{m}{tg15^\circ -1 } ; a= \frac{mtg15^\circ}{tg15^\circ -1}
a^{2}+b^{2} = c^{2}\Rightarrow c= \frac{m\sqrt{tg^{2}15^\circ+1}}{tg15^\circ -1}[/tex]
[tex]tg15^\circ = tg(45^\circ-30^\circ)=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}[/tex].

[Гост]

.....
[tex]tg15^\circ = tg(45^\circ-30^\circ)=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}[/tex].

Един малко по-завършен резултат
[tex]tg15^\circ = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{2(2-\sqrt{3})}{2}=2-\sqrt{3}[/tex]

[pal702004]

[tex]c= \frac{m\sqrt{tg^{2}15^\circ+1}}{tg15^\circ -1}[/tex]

[tex]tg15^\circ = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{2(2-\sqrt{3})}{2}=2-\sqrt{3}[/tex]

И един още по-завършен резултат:
$c=-\sqrt 2\cdot m$

$c^2=a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$

$a=c\cdot \cos(15^o),\;b=c\cdot \sin(15^o),\;2ab=?$

$2ab=c^2\cdot \sin(30^o)=\frac{c^2}{2}$

$c^2=m^2+\frac{c^2}{2}\Rightarrow c=\sqrt 2 |m|$

Ако приемем, че $\alpha$ е срещуположен на $a$, то да - в първата формула a и b трябва да се разменят, тогава наистина $m<0$